Номер 477, страница 155 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

477. Через точку вне круга с радиусом $r$, отстоящую от центра на $a$, проведена касательная. Найдите расстояние от этой точки до точки касания.

Обозначим центр круга как точку O, а точку вне круга — как A. Точку касания обозначим как T.

Согласно условию задачи, нам даны следующие величины:
1. Радиус круга равен r. Это длина отрезка OT, который соединяет центр круга и точку касания: $OT = r$.
2. Расстояние от точки A до центра O равно a. Это длина отрезка OA: $OA = a$.

Искомая величина — это расстояние от точки A до точки касания T, то есть длина отрезка AT.

По свойству касательной к окружности, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Это означает, что радиус OT перпендикулярен касательной AT, и угол $\angle OTA$ является прямым ($\angle OTA = 90^\circ$).

Таким образом, треугольник $\triangle OAT$ является прямоугольным, в котором:
- OT — катет, равный радиусу r.
- AT — второй катет, длину которого нам нужно найти.
- OA — гипотенуза, равная расстоянию a.

Применим к треугольнику $\triangle OAT$ теорему Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $OA^2 = OT^2 + AT^2$

Подставим известные значения в эту формулу: $a^2 = r^2 + AT^2$

Теперь выразим из этого уравнения квадрат искомой длины $AT^2$: $AT^2 = a^2 - r^2$

Чтобы найти длину AT, извлечем квадратный корень из правой части уравнения. Поскольку длина отрезка не может быть отрицательной, мы берем только положительное значение корня: $AT = \sqrt{a^2 - r^2}$

Так как точка A находится вне круга, ее расстояние до центра a строго больше радиуса r ($a > r$), что гарантирует, что выражение под корнем $a^2 - r^2$ всегда положительно.

Ответ: $\sqrt{a^2 - r^2}$