Номер 479, страница 155 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

479. Докажите, что расстояние точки окружности от ее хорды равно среднему геометрическому расстояний концов хорды от касательной к окружности в этой точке.

Пусть на окружности заданы хорда $AB$ и точка $P$, не совпадающая с концами хорды. Проведем через точку $P$ касательную $l$ к окружности. Обозначим искомые расстояния следующим образом:

• $h$ — расстояние от точки $P$ до хорды $AB$. Это длина перпендикуляра $PH$, опущенного из точки $P$ на прямую $AB$.
• $d_A$ — расстояние от точки $A$ до касательной $l$.
• $d_B$ — расстояние от точки $B$ до касательной $l$.

Требуется доказать, что $h = \sqrt{d_A \cdot d_B}$, что эквивалентно равенству $h^2 = d_A \cdot d_B$.

Воспользуемся теоремой об угле между касательной и хордой. Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен вписанному углу, опирающемуся на дугу, отсекаемую этой хордой.

Пусть $\alpha$ — это угол между касательной $l$ и хордой $PA$. Согласно теореме, этот угол равен вписанному углу $\angle PBA$. Таким образом, $\angle (l, PA) = \angle PBA = \alpha$.

Аналогично, пусть $\beta$ — это угол между касательной $l$ и хордой $PB$. Согласно той же теореме, этот угол равен вписанному углу $\angle PAB$. Таким образом, $\angle (l, PB) = \angle PAB = \beta$.

Теперь выразим расстояния $d_A$ и $d_B$. Расстояние от точки до прямой измеряется по перпендикуляру. Из прямоугольного треугольника, гипотенузой которого является отрезок $PA$, а одним из катетов — перпендикуляр из точки $A$ на прямую $l$, получаем:$d_A = PA \cdot \sin(\alpha)$

Аналогично для точки $B$:$d_B = PB \cdot \sin(\beta)$

Произведение этих расстояний равно:$d_A \cdot d_B = (PA \cdot \sin(\alpha)) \cdot (PB \cdot \sin(\beta)) = PA \cdot PB \cdot \sin(\alpha) \cdot \sin(\beta)$

Далее выразим расстояние $h = PH$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle APH$ (с прямым углом при вершине $H$). Угол $\angle PAH$ в этом треугольнике равен $\angle PAB = \beta$. Следовательно,$h = PA \cdot \sin(\angle PAH) = PA \cdot \sin(\beta)$

С другой стороны, можно рассмотреть прямоугольный треугольник $\triangle BPH$. Угол $\angle PBH$ в нем равен $\angle PBA = \alpha$. Отсюда получаем второе выражение для $h$:$h = PB \cdot \sin(\angle PBH) = PB \cdot \sin(\alpha)$

Чтобы найти $h^2$, перемножим два полученных выражения для $h$:$h^2 = (PA \cdot \sin(\beta)) \cdot (PB \cdot \sin(\alpha)) = PA \cdot PB \cdot \sin(\alpha) \cdot \sin(\beta)$

Сравнивая полученные выражения для $h^2$ и $d_A \cdot d_B$, мы видим, что они тождественно равны:$h^2 = d_A \cdot d_B$

Из этого следует, что $h = \sqrt{d_A \cdot d_B}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Расстояние точки окружности от ее хорды равно среднему геометрическому расстояний концов хорды от касательной к окружности в этой точке.