Номер 473, страница 155 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

473. Прямая пересекает две стороны треугольника и прямую, содержащую третью сторону. Учитывая, что точками пересечения первая и вторая стороны делятся в отношениях $k$ и $l$, найдите отношение расстояний от точки пересечения прямой с продолжением третьей стороны до ее концов.

Для решения этой задачи используется теорема Менелая для треугольника и секущей прямой.

Пусть дан треугольник $ABC$. Прямая $d$ пересекает две его стороны, $AB$ и $BC$, в точках $P$ и $Q$ соответственно. Также эта прямая пересекает прямую, содержащую третью сторону $AC$, в точке $R$. Согласно условию, точки $P$ и $Q$ лежат на отрезках (сторонах) $AB$ и $BC$. Геометрически это означает, что точка $R$ будет лежать на продолжении стороны $AC$, то есть вне отрезка $AC$.

Теорема Менелая для треугольника $ABC$ и секущей прямой $PQR$ утверждает, что произведение отношений длин отрезков, на которые секущая делит стороны треугольника (или их продолжения), равно единице. Математически это записывается так:

$$ \frac{AP}{PB} \cdot \frac{BQ}{QC} \cdot \frac{CR}{RA} = 1 $$

В этой формуле $AP, PB, BQ, QC, CR, RA$ обозначают длины соответствующих отрезков.

В условии задачи сказано, что первая и вторая стороны делятся точками пересечения в отношениях $k$ и $l$. Пусть "первая сторона" — это $AB$, а "вторая сторона" — $BC$. Наиболее естественной и стандартной трактовкой этого условия является определение отношений отрезков при последовательном обходе вершин треугольника (например, в направлении $A \rightarrow B \rightarrow C$).

Таким образом, мы принимаем, что:

• Точка $P$ делит сторону $AB$ в отношении $k$, то есть: $ \frac{AP}{PB} = k $
• Точка $Q$ делит сторону $BC$ в отношении $l$, то есть: $ \frac{BQ}{QC} = l $

Теперь подставим эти данные в формулу теоремы Менелая:

$$ k \cdot l \cdot \frac{CR}{RA} = 1 $$

Из этого уравнения мы можем выразить искомое отношение $\frac{CR}{RA}$:

$$ \frac{CR}{RA} = \frac{1}{kl} $$

Вопрос задачи состоит в том, чтобы найти "отношение расстояний от точки пересечения прямой с продолжением третьей стороны до ее концов". Это отношение длин отрезков от точки $R$ до вершин $A$ и $C$, то есть $\frac{RA}{RC}$ или $\frac{RC}{RA}$.

Из полученного нами результата $\frac{CR}{RA} = \frac{1}{kl}$ следует, что обратное отношение равно $\frac{RA}{RC} = kl$. Оба значения, $kl$ и $\frac{1}{kl}$, являются корректными ответами в зависимости от того, в каком порядке рассматриваются расстояния.

Ответ: Искомое отношение расстояний равно $kl$ (или $\frac{1}{kl}$).