Номер 467, страница 154 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

467. Есть трапеция с основаниями $a$ и $b$. Найдите:

а) отношение отрезков каждой диагонали, на которые они делятся точкой пересечения;

б) отношение расстояний от точки пересечения боковых сторон до концов каждой из них;

в) длину отрезка прямой, проведенной параллельно основаниям через точку пересечения диагоналей, причем концы отрезка принадлежат боковым сторонам;

г) длину отрезка прямой, проведенной параллельно основаниям через точку пересечения прямых, содержащих боковые стороны, причем концы отрезка принадлежат прямым, содержащим диагонали.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Обозначим длины оснований $AD = a$ и $BC = b$. Боковыми сторонами являются $AB$ и $CD$.

а) отношение отрезков каждой диагонали, на которые они делятся точкой пересечения;

Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$.

Эти треугольники подобны, так как:

• $\angle OAD = \angle OCB$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$).
• $\angle ODA = \angle OBC$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $BD$).
• $\angle AOD = \angle COB$ (как вертикальные углы).

Из подобия треугольников $\triangle AOD \sim \triangle COB$ следует, что отношение их соответствующих сторон равно:

$\frac{AO}{CO} = \frac{DO}{BO} = \frac{AD}{BC}$

Подставляя длины оснований, получаем:

$\frac{AO}{CO} = \frac{DO}{BO} = \frac{a}{b}$

Таким образом, точка пересечения делит каждую диагональ в отношении $a:b$.

Ответ: $\frac{a}{b}$.

б) отношение расстояний от точки пересечения боковых сторон до концов каждой из них;

Пусть прямые, содержащие боковые стороны $AB$ и $CD$, пересекаются в точке $P$. Рассмотрим треугольники $\triangle APD$ и $\triangle BPC$.

Эти треугольники подобны, так как:

• $\angle P$ — общий.
• $\angle PAD = \angle PBC$ (как соответственные углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AP$).
• $\angle PDA = \angle PCB$ (как соответственные углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $DP$).

Из подобия треугольников $\triangle APD \sim \triangle BPC$ следует пропорциональность соответствующих сторон:

$\frac{PA}{PB} = \frac{PD}{PC} = \frac{AD}{BC}$

Подставляя длины оснований, получаем:

$\frac{PA}{PB} = \frac{PD}{PC} = \frac{a}{b}$

Ответ: $\frac{a}{b}$.

в) длину отрезка прямой, проведенной параллельно основаниям через точку пересечения диагоналей, причем концы отрезка принадлежат боковым сторонам;

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей. Проведем через точку $O$ отрезок $MN$ параллельно основаниям $AD$ и $BC$, где точка $M$ лежит на боковой стороне $AB$, а точка $N$ — на стороне $CD$. Длина искомого отрезка равна $MN = MO + ON$.

Рассмотрим $\triangle ABD$. Так как $MO \parallel AD$, то $\triangle BMO \sim \triangle BDA$. Из подобия следует:

$\frac{MO}{AD} = \frac{BO}{BD}$

Из пункта (а) мы знаем, что $\frac{DO}{BO} = \frac{a}{b}$, откуда $DO = \frac{a}{b}BO$. Тогда $BD = BO + DO = BO + \frac{a}{b}BO = BO \frac{a+b}{b}$. Следовательно, $\frac{BO}{BD} = \frac{b}{a+b}$.

Подставим это в отношение для $MO$: $\frac{MO}{a} = \frac{b}{a+b} \implies MO = \frac{ab}{a+b}$.

Аналогично, рассмотрим $\triangle ACD$. Так как $ON \parallel AD$, то $\triangle CNO \sim \triangle CDA$. Из подобия следует:

$\frac{ON}{AD} = \frac{CO}{CA}$

Из пункта (а) имеем $\frac{AO}{CO} = \frac{a}{b}$, откуда $AO = \frac{a}{b}CO$. Тогда $CA = CO + AO = CO + \frac{a}{b}CO = CO \frac{a+b}{b}$. Следовательно, $\frac{CO}{CA} = \frac{b}{a+b}$.

Подставим это в отношение для $ON$: $\frac{ON}{a} = \frac{b}{a+b} \implies ON = \frac{ab}{a+b}$.

Полная длина отрезка $MN$ равна:

$MN = MO + ON = \frac{ab}{a+b} + \frac{ab}{a+b} = \frac{2ab}{a+b}$

Это выражение известно как среднее гармоническое длин оснований.

Ответ: $\frac{2ab}{a+b}$.

г) длину отрезка прямой, проведенной параллельно основаниям через точку пересечения прямых, содержащих боковые стороны, причем концы отрезка принадлежат прямым, содержащим диагонали.

Пусть $P$ — точка пересечения прямых, содержащих боковые стороны $AB$ и $CD$. Проведем через $P$ прямую, параллельную основаниям. Пусть эта прямая пересекает прямые, содержащие диагонали $AC$ и $BD$, в точках $Q$ и $R$ соответственно. Найдем длину отрезка $QR$. Предположим, что $a > b$.

Рассмотрим $\triangle CDA$ и проходящую через $P$ прямую $QR$, параллельную $AD$. Так как $P$ лежит на продолжении стороны $CD$, а $Q$ — на продолжении стороны $AC$, то треугольники $\triangle CPQ$ и $\triangle CDA$ подобны. Из подобия имеем:

$\frac{PQ}{DA} = \frac{CP}{CD}$

Из пункта (б) мы знаем, что $\frac{PD}{PC} = \frac{a}{b}$. Так как $P, C, D$ лежат на одной прямой, $PD = PC + CD$. Тогда $\frac{PC+CD}{PC} = \frac{a}{b} \implies 1 + \frac{CD}{PC} = \frac{a}{b} \implies \frac{CD}{PC} = \frac{a-b}{b}$. Отсюда $\frac{PC}{CD} = \frac{b}{a-b}$.

Подставляя, находим $PQ = DA \cdot \frac{CP}{CD} = a \cdot \frac{b}{a-b} = \frac{ab}{a-b}$.

Теперь рассмотрим $\triangle DCB$. Прямая $PR$ параллельна стороне $CB$. Треугольники $\triangle DPR$ и $\triangle DCB$ подобны. Из подобия имеем:

$\frac{PR}{CB} = \frac{DP}{DC}$

Из соотношения $\frac{PC}{CD} = \frac{b}{a-b}$ найдем $PC = \frac{b}{a-b}CD$. Тогда $DP = DC + CP = DC + \frac{b}{a-b}DC = \frac{a-b+b}{a-b}DC = \frac{a}{a-b}DC$. Отсюда $\frac{DP}{DC} = \frac{a}{a-b}$.

Подставляя, находим $PR = CB \cdot \frac{DP}{DC} = b \cdot \frac{a}{a-b} = \frac{ab}{a-b}$.

Точка $P$ лежит между точками $Q$ и $R$. Поэтому длина отрезка $QR$ равна сумме длин $PQ$ и $PR$:

$QR = PQ + PR = \frac{ab}{a-b} + \frac{ab}{a-b} = \frac{2ab}{a-b}$

Если $b>a$, результат будет $\frac{2ab}{b-a}$. В общем виде ответ можно записать с модулем.

Ответ: $\frac{2ab}{|a-b|}$.