Номер 460, страница 153 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

460. Определите, при каком условии:

a) около параллелограмма можно описать окружность;

б) около трапеции можно описать окружность;

в) в параллелограмм можно вписать окружность.

а) около параллелограмма можно описать окружность;

Окружность можно описать около четырехугольника тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$.
Пусть дан параллелограмм $ABCD$ с углами $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$, $\angle D$. По свойству параллелограмма, его противолежащие углы равны: $\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$.
Для того чтобы около параллелограмма можно было описать окружность, должно выполняться условие: $\angle A + \angle C = 180^\circ$.
Заменяя $\angle C$ на равный ему угол $\angle A$, получаем:
$\angle A + \angle A = 180^\circ$
$2\angle A = 180^\circ$
$\angle A = 90^\circ$
Если один из углов параллелограмма равен $90^\circ$, то и все остальные его углы равны $90^\circ$ (так как $\angle C = \angle A = 90^\circ$, а $\angle B = \angle D = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$).
Параллелограмм, у которого все углы прямые, является прямоугольником.
Ответ: окружность можно описать около параллелограмма, если этот параллелограмм является прямоугольником.

б) около трапеции можно описать окружность;

Как и для любого четырехугольника, окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда сумма ее противолежащих углов равна $180^\circ$.
Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По свойству трапеции, сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$. Например, для боковой стороны $AB$ (как внутренние односторонние углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AB$): $\angle A + \angle B = 180^\circ$.
Условие для описанной окружности требует, чтобы сумма противолежащих углов была равна $180^\circ$: $\angle B + \angle D = 180^\circ$.
Сравнивая два равенства:
$\angle A + \angle B = 180^\circ$
$\angle B + \angle D = 180^\circ$
мы получаем, что $\angle A = \angle D$.
Трапеция, у которой углы при основании равны, является равнобедренной (равнобокой).
Ответ: окружность можно описать около трапеции, если эта трапеция является равнобедренной.

в) в параллелограмм можно вписать окружность.

Окружность можно вписать в четырехугольник тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны (теорема Пито).
Пусть дан параллелограмм со смежными сторонами $a$ и $b$. Противолежащие стороны параллелограмма равны, значит длины его сторон равны $a, b, a, b$.
Условие для вписанной окружности: сумма длин одной пары противолежащих сторон должна быть равна сумме длин другой пары.
$a + a = b + b$
$2a = 2b$
$a = b$
Это означает, что все стороны параллелограмма должны быть равны. Параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом.
Ответ: окружность можно вписать в параллелограмм, если этот параллелограмм является ромбом.