Номер 462, страница 153 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

462. Стороны вписанного четырехугольника равны $a, b, c$ и $d$. Найдите его:

а) диагонали;

б) площадь.

а) диагонали

Для нахождения диагоналей вписанного четырехугольника со сторонами $a, b, c, d$ (расположенными последовательно) можно воспользоваться формулами, которые являются следствием теоремы косинусов.

Пусть дан вписанный четырехугольник $ABCD$ со сторонами $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$, $DA=d$. Обозначим его диагонали $p = AC$ и $q = BD$.

Применим теорему косинусов к треугольникам $ABC$ и $ADC$, которые имеют общую сторону $AC=p$:
$p^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos B$
$p^2 = c^2 + d^2 - 2cd \cos D$

Так как четырехугольник вписанный, сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$, то есть $B+D=180^\circ$. Отсюда следует, что $\cos D = \cos(180^\circ - B) = -\cos B$. Подставив это во второе уравнение, получим систему:
$p^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos B$
$p^2 = c^2 + d^2 + 2cd \cos B$

Решая эту систему относительно $p^2$, можно выразить диагональ через стороны. Аналогичная процедура проводится для второй диагонали $q$, рассматривая треугольники $ABD$ и $BCD$. В результате получаются следующие формулы для квадратов диагоналей:

Квадрат диагонали $p$, разделяющей стороны $a, b$ и $c, d$:
$p^2 = \frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}$

Квадрат диагонали $q$, разделяющей стороны $b, c$ и $d, a$:
$q^2 = \frac{(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}$

Ответ:
Диагонали вписанного четырехугольника равны $p = \sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}$ и $q = \sqrt{\frac{(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}}$, где $a, b, c, d$ — длины последовательных сторон.

б) площадь

Площадь вписанного четырехугольника можно найти по формуле Брахмагупты, которая является обобщением формулы Герона для треугольника.

Сначала вычисляется полупериметр четырехугольника $s$:
$s = \frac{a+b+c+d}{2}$

Затем площадь $S$ находится по формуле:
$S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$

Эта формула справедлива только для вписанных четырехугольников.

Ответ:
Площадь вписанного четырехугольника равна $S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$, где $s = \frac{a+b+c+d}{2}$ — его полупериметр.