Номер 456, страница 153 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

456. Докажите, что $d_1^2 + d_2^2 = c^2 + d^2 + 2ab$.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Обозначим длины сторон и диагоналей следующим образом:

• $AD = a$ (большее основание)
• $BC = b$ (меньшее основание)
• $AB = c$ (боковая сторона)
• $CD = d$ (боковая сторона)
• $AC = d_1$ (диагональ)
• $BD = d_2$ (диагональ)

Требуется доказать, что $d_1^2 + d_2^2 = c^2 + d^2 + 2ab$.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Поместим начало координат в вершину $A$. Тогда векторы, соответствующие вершинам, будут:

• $\vec{A} = \vec{0}$
• $\vec{AD} = \vec{u}$
• $\vec{AB} = \vec{v}$

Длины этих векторов равны длинам соответствующих сторон: $|\vec{u}| = a$, $|\vec{v}| = c$.

Поскольку $BC$ параллельно $AD$ и их длины равны $b$ и $a$ соответственно, вектор $\vec{BC}$ коллинеарен вектору $\vec{AD}$ и равен $\vec{BC} = \frac{b}{a}\vec{u}$. Теперь мы можем выразить вектор $\vec{AC}$ и вектор, соответствующий вершине $C$: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{v} + \frac{b}{a}\vec{u}$. Это и есть вектор диагонали $d_1$.

Теперь выразим векторы диагоналей и боковой стороны $CD$ через $\vec{u}$ и $\vec{v}$:

• Диагональ $AC$: $\vec{d_1} = \vec{AC} = \vec{v} + \frac{b}{a}\vec{u}$
• Диагональ $BD$: $\vec{d_2} = \vec{AD} - \vec{AB} = \vec{u} - \vec{v}$
• Сторона $CD$: $\vec{CD} = \vec{AD} - \vec{AC} = \vec{u} - (\vec{v} + \frac{b}{a}\vec{u}) = (1-\frac{b}{a})\vec{u} - \vec{v} = \frac{a-b}{a}\vec{u} - \vec{v}$

Найдем квадраты длин этих векторов, используя скалярное произведение ($|\vec{x}|^2 = \vec{x} \cdot \vec{x}$):

• $d_1^2 = |\vec{d_1}|^2 = (\vec{v} + \frac{b}{a}\vec{u}) \cdot (\vec{v} + \frac{b}{a}\vec{u}) = |\vec{v}|^2 + 2\frac{b}{a}(\vec{u}\cdot\vec{v}) + \frac{b^2}{a^2}|\vec{u}|^2 = c^2 + \frac{2b}{a}(\vec{u}\cdot\vec{v}) + b^2$
• $d_2^2 = |\vec{d_2}|^2 = (\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = |\vec{u}|^2 - 2(\vec{u}\cdot\vec{v}) + |\vec{v}|^2 = a^2 - 2(\vec{u}\cdot\vec{v}) + c^2$
• $d^2 = |\vec{CD}|^2 = (\frac{a-b}{a}\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\frac{a-b}{a}\vec{u} - \vec{v}) = \frac{(a-b)^2}{a^2}|\vec{u}|^2 - 2\frac{a-b}{a}(\vec{u}\cdot\vec{v}) + |\vec{v}|^2 = (a-b)^2 - 2\frac{a-b}{a}(\vec{u}\cdot\vec{v}) + c^2$

Сложим квадраты длин диагоналей: $d_1^2 + d_2^2 = (c^2 + b^2 + \frac{2b}{a}(\vec{u}\cdot\vec{v})) + (a^2 + c^2 - 2(\vec{u}\cdot\vec{v}))$ $d_1^2 + d_2^2 = a^2 + b^2 + 2c^2 + (\frac{2b}{a} - 2)(\vec{u}\cdot\vec{v})$ $d_1^2 + d_2^2 = a^2 + b^2 + 2c^2 + \frac{2(b-a)}{a}(\vec{u}\cdot\vec{v})$

Из выражения для $d^2$ выразим скалярное произведение $\vec{u}\cdot\vec{v}$: $2\frac{a-b}{a}(\vec{u}\cdot\vec{v}) = (a-b)^2 + c^2 - d^2$ $\frac{2(b-a)}{a}(\vec{u}\cdot\vec{v}) = -((a-b)^2 + c^2 - d^2) = d^2 - c^2 - (a-b)^2$

Подставим это выражение в сумму квадратов диагоналей: $d_1^2 + d_2^2 = a^2 + b^2 + 2c^2 + (d^2 - c^2 - (a-b)^2)$ $d_1^2 + d_2^2 = a^2 + b^2 + 2c^2 + d^2 - c^2 - (a^2 - 2ab + b^2)$ $d_1^2 + d_2^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 - a^2 + 2ab - b^2$ $d_1^2 + d_2^2 = c^2 + d^2 + 2ab$

Равенство доказано.

Ответ: Доказано, что сумма квадратов диагоналей трапеции $d_1^2 + d_2^2$ равна сумме квадратов боковых сторон $c^2 + d^2$ и удвоенного произведения оснований $2ab$, то есть $d_1^2 + d_2^2 = c^2 + d^2 + 2ab$.