Номер 452, страница 152 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

452. Найдите расстояние:

Рис. 317

a) между серединами диагоналей трапеции, учитывая, что основания трапеции равны $a$ и $b$;

б) от середины отрезка да прямой, учитывая, что его концы отстоят от этой прямой на $a$ и $b$;

в) от вершины параллелограмма до прямой, проходящей через противоположную вершину, учитывая, что две другие вершины отстоят от этой прямой на $a$ и $b$.

а)

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причем $AD = a$ и $BC = b$. Пусть $M$ — середина диагонали $AC$, а $N$ — середина диагонали $BD$. Требуется найти длину отрезка $MN$.

Рассмотрим среднюю линию трапеции. Пусть $K$ — середина боковой стороны $AB$. Проведем через точку $K$ прямую, параллельную основаниям трапеции. Эта прямая является средней линией трапеции и пересекает диагонали $AC$ и $BD$ в их серединах $M$ и $N$ соответственно. (Точнее, она пересекает $AC$ в точке, которая является ее серединой, и так же с $BD$).

Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $KM$ соединяет середину стороны $AB$ (точку $K$) и середину стороны $AC$ (точку $M$). Следовательно, $KM$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, $KM$ параллельна $BC$ и равна ее половине: $KM = \frac{BC}{2} = \frac{b}{2}$.

Аналогично, рассмотрим треугольник $ABD$. Отрезок $KN$ соединяет середину стороны $AB$ (точку $K$) и середину стороны $BD$ (точку $N$). Следовательно, $KN$ является средней линией треугольника $ABD$. По свойству средней линии, $KN$ параллельна $AD$ и равна ее половине: $KN = \frac{AD}{2} = \frac{a}{2}$.

Так как точки $K, M, N$ лежат на одной прямой (средней линии трапеции), то искомое расстояние $MN$ равно разности длин отрезков $KN$ и $KM$. Для определенности предположим, что $a > b$. Тогда $KN > KM$.

$MN = KN - KM = \frac{a}{2} - \frac{b}{2} = \frac{a - b}{2}$.

Если $b > a$, то расстояние будет $\frac{b - a}{2}$. В общем случае, расстояние является положительной величиной, поэтому: $MN = \frac{|a - b|}{2}$.

Ответ: $\frac{|a - b|}{2}$.

б)

Пусть дан отрезок $AB$ и прямая $l$. Пусть $M$ — середина отрезка $AB$. Расстояние от концов отрезка до прямой $l$ равны $a$ и $b$. Это означает, что если опустить перпендикуляры $AA'$ и $BB'$ из точек $A$ и $B$ на прямую $l$, то их длины будут $AA' = a$ и $BB' = b$. Нужно найти длину перпендикуляра $MM'$, опущенного из точки $M$ на прямую $l$.

Возможны два случая.

Случай 1: Концы отрезка находятся по одну сторону от прямой.

В этом случае фигура $A'ABB'$ является прямоугольной трапецией с основаниями $AA'$ и $BB'$ (так как $AA' \perp l$ и $BB' \perp l$, то $AA' \parallel BB'$). Отрезок $MM'$ соединяет середины непараллельных сторон $AB$ и $A'B'$ (то что $M'$ середина $A'B'$ следует из теоремы Фалеса). Следовательно, $MM'$ является средней линией этой трапеции. Длина средней линии трапеции равна полусумме ее оснований: $MM' = \frac{AA' + BB'}{2} = \frac{a + b}{2}$.

Случай 2: Концы отрезка находятся по разные стороны от прямой.

В этом случае отрезок $AB$ пересекает прямую $l$. Пусть точка пересечения — $P$. Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle AA'P$ и $\triangle BB'P$. Они подобны по острому углу (вертикальные углы при вершине $P$).

Можно также воспользоваться координатным методом. Пусть прямая $l$ совпадает с осью $Ox$. Тогда концы отрезка имеют координаты $A(x_A, y_A)$ и $B(x_B, y_B)$. Так как они по разные стороны от прямой, их ординаты имеют разные знаки. Расстояния до оси $Ox$ равны $a$ и $b$, поэтому, например, $y_A = a$ и $y_B = -b$.

Координаты середины отрезка $M$ равны: $M = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{a - b}{2}\right)$.

Расстояние от точки $M$ до прямой $l$ (оси $Ox$) равно модулю ее ординаты: $d = \left|\frac{a - b}{2}\right| = \frac{|a - b|}{2}$.

Таким образом, ответ зависит от расположения отрезка относительно прямой.

Ответ: $\frac{a + b}{2}$, если концы отрезка лежат по одну сторону от прямой, и $\frac{|a - b|}{2}$, если по разные.

в)

Пусть дан параллелограмм $ABCD$ и прямая $l$, проходящая через вершину $A$. Расстояния от вершин $B$ и $D$ до прямой $l$ равны $a$ и $b$ соответственно. Требуется найти расстояние от вершины $C$ до прямой $l$.

Основное свойство параллелограмма заключается в том, что его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Тогда $O$ является серединой как диагонали $AC$, так и диагонали $BD$.

Рассмотрим диагональ $BD$. Точка $O$ — ее середина. Расстояния от концов отрезка $BD$ до прямой $l$ равны $a$ и $b$. Используя результат из пункта б), найдем расстояние от точки $O$ до прямой $l$. Обозначим это расстояние как $h_O$.

• Если точки $B$ и $D$ лежат по одну сторону от прямой $l$, то $h_O = \frac{a + b}{2}$.
• Если точки $B$ и $D$ лежат по разные стороны от прямой $l$, то $h_O = \frac{|a - b|}{2}$.

Теперь рассмотрим диагональ $AC$. Точка $O$ также является ее серединой. Расстояние от точки $A$ до прямой $l$ равно нулю, так как по условию прямая $l$ проходит через $A$. Пусть искомое расстояние от точки $C$ до прямой $l$ равно $h_C$.

Поскольку $A$ лежит на прямой $l$, точка $C$ не может лежать с $A$ по разные стороны от $l$ (если только $C$ не лежит на $l$). Отрезок $AC$ имеет один конец $A$ на прямой $l$. Для середины $O$ отрезка $AC$ и расстояний до прямой $l$ справедливо соотношение, аналогичное средней линии треугольника. Если опустить перпендикуляры $OO'$ и $CC'$ на прямую $l$, то в треугольнике $ACC'$ отрезок $OO'$ будет средней линией. Следовательно, $OO' = \frac{CC'}{2}$.

Это означает, что $h_O = \frac{h_C}{2}$, откуда $h_C = 2h_O$.

Подставим найденные ранее выражения для $h_O$:

• Если $B$ и $D$ лежат по одну сторону от прямой $l$, то $h_C = 2 \cdot \frac{a + b}{2} = a + b$.
• Если $B$ и $D$ лежат по разные стороны от прямой $l$, то $h_C = 2 \cdot \frac{|a - b|}{2} = |a - b|$.

Оба случая возможны в зависимости от того, как прямая $l$ проходит через вершину $A$ (пересекает ли она диагональ $BD$ или нет).

Ответ: $a + b$ или $|a - b|$.