Номер 446, страница 151 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

446. Есть равносторонний треугольник, вписанный в окружность. Докажите, что расстояние любой точки дуги, стягиваемой какой-либо стороной треугольника, от противолежащей вершины равно сумме расстояний этой точки от двух других вершин.

Пусть $ABC$ — равносторонний треугольник, вписанный в окружность. Пусть $M$ — произвольная точка на дуге $BC$, не содержащей вершину $A$. Требуется доказать, что расстояние от точки $M$ до противолежащей вершины $A$ равно сумме расстояний от $M$ до двух других вершин $B$ и $C$. Математически это записывается как $MA = MB + MC$.

Для доказательства используем метод геометрических построений. Отложим на отрезке $MA$ точку $K$ таким образом, чтобы отрезок $MK$ был равен отрезку $MC$. То есть, $MK = MC$. Соединим точку $K$ с вершиной $C$.

Рассмотрим угол $\angle AMC$. Этот угол является вписанным в окружность и опирается на дугу $AC$. Так как треугольник $ABC$ — равносторонний, то дуга, стягиваемая его стороной, составляет треть полной окружности: дуга $AC = 360^\circ / 3 = 120^\circ$. Величина вписанного угла равна половине дуги, на которую он опирается, поэтому $\angle AMC = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $MKC$. По нашему построению $MK = MC$. Угол $\angle KMC$ этого треугольника совпадает с углом $\angle AMC$, то есть $\angle KMC = 60^\circ$. Треугольник, у которого две стороны равны, а угол между ними равен $60^\circ$, является равносторонним. Таким образом, $\triangle MKC$ — равносторонний, и все его стороны равны: $MK = MC = KC$. Также все его углы равны $60^\circ$, в частности $\angle KCM = 60^\circ$.

Далее сравним треугольники $\triangle AKC$ и $\triangle BMC$. У них $AC = BC$ (как стороны равностороннего $\triangle ABC$) и $KC = MC$ (так как $\triangle MKC$ равносторонний). Найдем углы между этими парами сторон. Угол $\angle BCA$ треугольника $ABC$ равен $60^\circ$, и угол $\angle KCM$ треугольника $MKC$ также равен $60^\circ$. Заметим, что $\angle BCA = \angle BCK + \angle KCA$ и $\angle KCM = \angle BCK + \angle BCM$. Так как левые части этих равенств равны ($60^\circ$), то равны и правые: $\angle BCK + \angle KCA = \angle BCK + \angle BCM$. Вычитая из обеих частей общий угол $\angle BCK$, получаем, что $\angle KCA = \angle BCM$.

Таким образом, мы установили, что в треугольниках $\triangle AKC$ и $\triangle BMC$ две стороны и угол между ними соответственно равны ($AC = BC$, $KC = MC$, $\angle KCA = \angle BCM$). Следовательно, по первому признаку равенства треугольников, $\triangle AKC \cong \triangle BMC$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AK = BM$.

Вспомним, что точка $K$ была выбрана на отрезке $MA$, поэтому $MA = MK + AK$. Ранее мы установили, что по построению $MK = MC$, и только что доказали, что $AK = BM$. Заменив $MK$ и $AK$ в равенстве, получаем итоговый результат: $MA = MC + BM$.

Это завершает доказательство.

Ответ: Утверждение, представленное в задаче, доказано.