Номер 450, страница 152 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

450. Три равные окружности попарно касаются. Еще одна окружность касается их внешним образом, а другая — внутренним (рис. 316). Найдите отношение их радиусов.

Рис. 316

Обозначим радиус трех равных окружностей как $r$. Радиус большой окружности, которая касается их внутренним образом, обозначим как $R$. Радиус малой окружности, которая касается их внешним образом, обозначим как $r_{м}$.

Центры трех равных окружностей, назовем их $O_1, O_2, O_3$, образуют равносторонний треугольник со стороной $a = r + r = 2r$.

Центр большой и малой окружностей совпадает с центром этого равностороннего треугольника (его центроидом). Обозначим этот центр как $O$.

Нахождение радиуса большей окружности ($R$)

Радиус $R$ большой окружности равен расстоянию от ее центра $O$ до центра $O_1$ одной из равных окружностей плюс радиус этой окружности $r$.

Расстояние от центра (центроида) равностороннего треугольника до его вершины равно $ \frac{2}{3} $ его высоты (или медианы). Высота $h$ равностороннего треугольника со стороной $a=2r$ вычисляется по формуле:$h = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2r \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = r\sqrt{3}$.

Расстояние от центра $O$ до вершины $O_1$ составляет:$OO_1 = \frac{2}{3}h = \frac{2}{3} r\sqrt{3} = \frac{2r\sqrt{3}}{3}$.

Большая окружность касается равных окружностей внутренним образом, поэтому ее радиус $R$ равен сумме расстояния $OO_1$ и радиуса $r$:$R = OO_1 + r = \frac{2r\sqrt{3}}{3} + r = r \left( \frac{2\sqrt{3}}{3} + 1 \right)$.

Ответ: Радиус большей окружности $R = r \left( 1 + \frac{2\sqrt{3}}{3} \right)$.

Нахождение радиуса меньшей окружности ($r_{м}$)

Малая окружность с центром $O$ касается трех равных окружностей внешним образом. Расстояние от ее центра $O$ до центра $O_1$ одной из равных окружностей равно сумме их радиусов:$OO_1 = r_м + r$.

Мы уже знаем, что $OO_1 = \frac{2r\sqrt{3}}{3}$. Приравниваем два выражения для $OO_1$:$r_м + r = \frac{2r\sqrt{3}}{3}$.

Отсюда находим $r_м$:$r_м = \frac{2r\sqrt{3}}{3} - r = r \left( \frac{2\sqrt{3}}{3} - 1 \right)$.

Ответ: Радиус меньшей окружности $r_м = r \left( \frac{2\sqrt{3}}{3} - 1 \right)$.

Нахождение отношения их радиусов ($R / r_{м}$)

Теперь найдем отношение радиуса большой окружности к радиусу малой окружности:

$\frac{R}{r_м} = \frac{r \left( \frac{2\sqrt{3}}{3} + 1 \right)}{r \left( \frac{2\sqrt{3}}{3} - 1 \right)} = \frac{\frac{2\sqrt{3} + 3}{3}}{\frac{2\sqrt{3} - 3}{3}} = \frac{2\sqrt{3} + 3}{2\sqrt{3} - 3}$.

Чтобы упростить это выражение, умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение, то есть на $(2\sqrt{3} + 3)$:

$\frac{R}{r_м} = \frac{(2\sqrt{3} + 3)(2\sqrt{3} + 3)}{(2\sqrt{3} - 3)(2\sqrt{3} + 3)} = \frac{(2\sqrt{3} + 3)^2}{(2\sqrt{3})^2 - 3^2} = \frac{(2\sqrt{3})^2 + 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 3 + 3^2}{12 - 9} = \frac{12 + 12\sqrt{3} + 9}{3} = \frac{21 + 12\sqrt{3}}{3}$.

Сокращаем дробь на 3:

$\frac{R}{r_м} = 7 + 4\sqrt{3}$.

Ответ: $7 + 4\sqrt{3}$.