Номер 448, страница 151 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

448. Выразите через радиус окружности сторону и диагонали правильного вписанного:

а) треугольника;

б) четырехугольника;

в) шестиугольника;

г) пятиугольника;

д) десятиугольника.

Для решения задачи воспользуемся общими формулами для стороны и диагоналей правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса $R$.

Длина стороны $a_n$ правильного n-угольника выражается через радиус описанной окружности $R$ по формуле:

$a_n = 2R \sin(\frac{180^\circ}{n})$

Эта формула следует из равнобедренного треугольника, образованного двумя радиусами, проведенными к соседним вершинам многоугольника, и стороной, соединяющей эти вершины. Угол при центре окружности в этом треугольнике равен $360^\circ/n$.

Длина диагонали $d_k$, которая соединяет вершины, разделенные $k-1$ другими вершинами (т.е. стягивает дугу из $k$ сторон), вычисляется по схожей формуле:

$d_k = 2R \sin(\frac{k \cdot 180^\circ}{n})$

где $k$ — целое число от 2 до $n-1$. Диагонали, имеющие одинаковую длину, соответствуют значениям $k$ и $n-k$.

Для правильного треугольника (n=3), вписанного в окружность радиуса $R$:

Сторона ($a_3$):

$a_3 = 2R \sin(\frac{180^\circ}{3}) = 2R \sin(60^\circ) = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}$

Диагонали:

У треугольника нет диагоналей, так как все его вершины являются смежными.

Ответ: сторона $a_3 = R\sqrt{3}$; диагоналей нет.

Для правильного четырехугольника (квадрата, n=4), вписанного в окружность радиуса $R$:

Сторона ($a_4$):

$a_4 = 2R \sin(\frac{180^\circ}{4}) = 2R \sin(45^\circ) = 2R \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = R\sqrt{2}$

Диагонали ($d$):

У квадрата есть только один тип диагоналей ($k=2$), которые соединяют противоположные вершины. Эта диагональ является диаметром описанной окружности.

$d = 2R \sin(\frac{2 \cdot 180^\circ}{4}) = 2R \sin(90^\circ) = 2R \cdot 1 = 2R$

Ответ: сторона $a_4 = R\sqrt{2}$; диагональ $d = 2R$.

Для правильного шестиугольника (n=6), вписанного в окружность радиуса $R$:

Сторона ($a_6$):

$a_6 = 2R \sin(\frac{180^\circ}{6}) = 2R \sin(30^\circ) = 2R \cdot \frac{1}{2} = R$

Диагонали:

У правильного шестиугольника есть два типа диагоналей:

1. Короткая диагональ ($d_2$), соединяющая вершины через одну ($k=2$):

$d_2 = 2R \sin(\frac{2 \cdot 180^\circ}{6}) = 2R \sin(60^\circ) = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}$

2. Длинная диагональ ($d_3$), соединяющая противоположные вершины ($k=3$) и являющаяся диаметром:

$d_3 = 2R \sin(\frac{3 \cdot 180^\circ}{6}) = 2R \sin(90^\circ) = 2R$

Ответ: сторона $a_6 = R$; диагонали $d_2 = R\sqrt{3}$ и $d_3 = 2R$.

Для правильного пятиугольника (n=5), вписанного в окружность радиуса $R$:

Сторона ($a_5$):

$a_5 = 2R \sin(\frac{180^\circ}{5}) = 2R \sin(36^\circ)$. Используя точное значение $\sin(36^\circ) = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$, получаем:

$a_5 = 2R \cdot \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4} = \frac{R}{2}\sqrt{10-2\sqrt{5}}$

Диагонали ($d$):

У правильного пятиугольника все диагонали имеют одинаковую длину ($k=2$):

$d = 2R \sin(\frac{2 \cdot 180^\circ}{5}) = 2R \sin(72^\circ)$. Используя точное значение $\sin(72^\circ) = \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$, получаем:

$d = 2R \cdot \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4} = \frac{R}{2}\sqrt{10+2\sqrt{5}}$

Ответ: сторона $a_5 = \frac{R}{2}\sqrt{10-2\sqrt{5}}$; диагональ $d = \frac{R}{2}\sqrt{10+2\sqrt{5}}$.

Для правильного десятиугольника (n=10), вписанного в окружность радиуса $R$:

Сторона ($a_{10}$):

$a_{10} = 2R \sin(\frac{180^\circ}{10}) = 2R \sin(18^\circ)$. Используя точное значение $\sin(18^\circ) = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$, получаем:

$a_{10} = 2R \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{4} = \frac{R(\sqrt{5}-1)}{2}$

Диагонали:

У правильного десятиугольника четыре типа диагоналей различной длины:

1. Диагональ $d_2$ ($k=2$):

$d_2 = 2R \sin(\frac{2 \cdot 180^\circ}{10}) = 2R \sin(36^\circ) = \frac{R}{2}\sqrt{10-2\sqrt{5}}$

2. Диагональ $d_3$ ($k=3$):

$d_3 = 2R \sin(\frac{3 \cdot 180^\circ}{10}) = 2R \sin(54^\circ) = 2R \cos(36^\circ)$. Используя $\cos(36^\circ) = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$, получаем:

$d_3 = 2R \cdot \frac{\sqrt{5}+1}{4} = \frac{R(\sqrt{5}+1)}{2}$

3. Диагональ $d_4$ ($k=4$):

$d_4 = 2R \sin(\frac{4 \cdot 180^\circ}{10}) = 2R \sin(72^\circ) = \frac{R}{2}\sqrt{10+2\sqrt{5}}$

4. Диагональ $d_5$ ($k=5$), являющаяся диаметром:

$d_5 = 2R \sin(\frac{5 \cdot 180^\circ}{10}) = 2R \sin(90^\circ) = 2R$

Ответ: сторона $a_{10} = \frac{R(\sqrt{5}-1)}{2}$; диагонали $d_2 = \frac{R}{2}\sqrt{10-2\sqrt{5}}$, $d_3 = \frac{R(\sqrt{5}+1)}{2}$, $d_4 = \frac{R}{2}\sqrt{10+2\sqrt{5}}$, $d_5 = 2R$.