Номер 449, страница 152 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

449*. Стороны треугольника равны $a, b, c$. Найдите расстояния:

а) от ортоцентра треугольника до его вершины $A$;

б) от центра окружности, описанной около треугольника, до его стороны $AB$;

в) от центра окружности, вписанной в треугольник, до его вершины $A$;

г) от центра $J_A$ вневписанной окружности треугольника до вершины $A$;

д) между центрами вписанной и вневписанной окружностей.

Для решения задачи введем следующие обозначения для треугольника $ABC$ со сторонами $a, b, c$, противолежащими соответствующим вершинам $A, B, C$:

• $p = \frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр треугольника.
• $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ — площадь треугольника (по формуле Герона).
• $R = \frac{abc}{4S}$ — радиус описанной окружности.
• $r = \frac{S}{p}$ — радиус вписанной окружности.
• $r_a = \frac{S}{p-a}$ — радиус вневписанной окружности, касающейся стороны $a$ (BC).
• $A, B, C$ — величины углов при вершинах $A, B, C$.

а) от ортоцентра треугольника до его вершины A;

Пусть $H$ — ортоцентр треугольника $ABC$, а $BE$ — высота, проведенная из вершины $B$ к стороне $AC$. Расстояние, которое нам нужно найти, — это длина отрезка $HA$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABE$. В нем $AE = c \cdot \cos A$.

Теперь рассмотрим треугольник $AHE$. Угол $\angle AEH$ прямой, так как $BE$ — высота. Угол $\angle EAH$ (он же $\angle CAB$) равен $A$. Нет, это неверно. Угол $\angle EAH$ является частью угла $A$. Правильнее рассмотреть угол $\angle HAE$. В прямоугольном треугольнике $AEC$ (где $E$ - основание высоты из $B$), $\angle CAE = A$, а $\angle ACE=C$, тогда $\angle EAC = A$. Угол $\angle HAE$ (он же $\angle CAE$) равен $90^\circ - C$, так как в прямоугольном треугольнике $ADC$ (где $AD$ - высота из $A$), $\angle CAD = 90^\circ - C$. В прямоугольном треугольнике $AHE$ имеем:

$AH = \frac{AE}{\cos(\angle HAE)} = \frac{AE}{\cos(90^\circ - C)} = \frac{AE}{\sin C}$.

Подставим $AE = c \cos A$: $AH = \frac{c \cos A}{\sin C}$.

По теореме синусов, $\frac{c}{\sin C} = 2R$. Отсюда получаем известную формулу: $AH = 2R \cos A$.

Теперь выразим это расстояние через стороны $a, b, c$. Используем формулу для радиуса описанной окружности $R = \frac{abc}{4S}$ и формулу косинуса угла из теоремы косинусов $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.

$AH = 2 \cdot \frac{abc}{4S} \cdot \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{a(b^2+c^2-a^2)}{4S}$.

Ответ: $\frac{a(b^2+c^2-a^2)}{4S}$, где $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ и $p = \frac{a+b+c}{2}$.

б) от центра окружности, описанной около треугольника, до его стороны AB;

Пусть $O$ — центр описанной окружности. Расстояние от $O$ до стороны $AB$ (длиной $c$) — это длина перпендикуляра $OM$, опущенного из $O$ на $AB$.

Треугольник $AOB$ является равнобедренным, так как $OA = OB = R$. Поэтому высота $OM$ является также медианой и биссектрисой. Центральный угол $\angle AOB$ в два раза больше вписанного угла $\angle C$, то есть $\angle AOB = 2C$. Тогда $\angle AOM = C$.

Из прямоугольного треугольника $AOM$ находим: $OM = OA \cos(\angle AOM) = R \cos C$.

Поскольку расстояние должно быть неотрицательным, а косинус может быть отрицательным (для тупого угла $C$), то искомое расстояние равно $|R \cos C|$.

Выразим это через стороны $a, b, c$:$R = \frac{abc}{4S}$ и $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.

$OM = \left| \frac{abc}{4S} \cdot \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \right| = \frac{c|a^2+b^2-c^2|}{8S}$.

Ответ: $\frac{c|a^2+b^2-c^2|}{8S}$, где $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ и $p = \frac{a+b+c}{2}$.

в) от центра окружности, вписанной в треугольник, до его вершины A;

Пусть $I$ — центр вписанной окружности (инцентр). Расстояние, которое нужно найти, — это длина отрезка $IA$.

Инцентр $I$ лежит на биссектрисе угла $A$. Пусть $K$ — точка касания вписанной окружности со стороной $AB$. Тогда $IK$ — радиус вписанной окружности $r$, и $IK \perp AB$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AKI$. Угол $\angle IAK = A/2$. Из этого треугольника: $\sin(A/2) = \frac{IK}{IA} = \frac{r}{IA}$, откуда $IA = \frac{r}{\sin(A/2)}$.

Выразим $r$ и $\sin(A/2)$ через стороны треугольника.$r = \frac{S}{p}$. Формула для синуса половинного угла: $\sin^2(A/2) = \frac{1-\cos A}{2}$. Используя теорему косинусов, $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$, получаем:$\sin^2(A/2) = \frac{1 - \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}{2} = \frac{2bc-b^2-c^2+a^2}{4bc} = \frac{a^2-(b-c)^2}{4bc} = \frac{(a-b+c)(a+b-c)}{4bc}$. Так как $a-b+c = 2(p-b)$ и $a+b-c = 2(p-c)$, то:$\sin^2(A/2) = \frac{4(p-b)(p-c)}{4bc} = \frac{(p-b)(p-c)}{bc}$. Тогда $\sin(A/2) = \sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}$.

$IA = \frac{S/p}{\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}} = \frac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{p} \cdot \sqrt{\frac{bc}{(p-b)(p-c)}} = \frac{\sqrt{p(p-a)bc}}{p} = \sqrt{\frac{(p-a)bc}{p}}$.

Ответ: $\sqrt{\frac{bc(p-a)}{p}}$, где $p = \frac{a+b+c}{2}$.

г) от центра $J_A$ вневписанной окружности треугольника до вершины A;

Центр $J_A$ вневписанной окружности, касающейся стороны $a$ (BC), лежит на биссектрисе угла $A$. Расстояние, которое нужно найти, — это длина отрезка $J_A A$.

Рассуждая аналогично предыдущему пункту, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный отрезком $J_A A$, перпендикуляром из $J_A$ на прямую $AB$ (его длина равна радиусу вневписанной окружности $r_a$) и отрезком прямой $AB$. Угол при вершине $A$ в этом треугольнике равен $A/2$.

Получаем формулу $J_A A = \frac{r_a}{\sin(A/2)}$.

Используем формулу $r_a = \frac{S}{p-a}$ и уже найденное выражение для $\sin(A/2) = \sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}$.

$J_A A = \frac{S/(p-a)}{\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}} = \frac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{p-a} \cdot \sqrt{\frac{bc}{(p-b)(p-c)}} = \frac{\sqrt{p(p-a)bc}}{p-a} = \sqrt{\frac{pbc}{p-a}}$.

Ответ: $\sqrt{\frac{pbc}{p-a}}$, где $p = \frac{a+b+c}{2}$.

д) между центрами вписанной и вневписанной окружностей.

Найдём расстояние между центром вписанной окружности $I$ и центром вневписанной окружности $J_A$.

Внутренняя биссектриса угла $B$ (проходящая через $I$) и внешняя биссектриса угла $B$ (проходящая через $J_A$) перпендикулярны. То есть $\angle IBJ_A = 90^\circ$. Аналогично, $\angle ICJ_A = 90^\circ$. Это означает, что точки $B$ и $C$ лежат на окружности, диаметром которой является отрезок $IJ_A$.

В этой окружности хорда $BC$ (длиной $a$) стягивает дугу, на которую опирается вписанный угол $\angle BJ_A C$. Найдем величину этого угла. В треугольнике $BCJ_A$ углы при вершинах $B$ и $C$ равны половинам внешних углов треугольника $ABC$:$\angle J_A BC = (180^\circ - B)/2 = 90^\circ - B/2$.$\angle J_A CB = (180^\circ - C)/2 = 90^\circ - C/2$. Тогда $\angle BJ_A C = 180^\circ - (90^\circ - B/2) - (90^\circ - C/2) = (B+C)/2 = (180^\circ-A)/2 = 90^\circ - A/2$.

Длина хорды в окружности равна произведению диаметра на синус вписанного угла, опирающегося на эту хорду:$BC = IJ_A \cdot \sin(\angle BJ_A C)$.$a = IJ_A \cdot \sin(90^\circ - A/2) = IJ_A \cdot \cos(A/2)$. Отсюда $IJ_A = \frac{a}{\cos(A/2)}$.

Теперь выразим $\cos(A/2)$ через стороны: $\cos^2(A/2) = \frac{1+\cos A}{2} = \frac{p(p-a)}{bc}$.$\cos(A/2) = \sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}}$.

$IJ_A = \frac{a}{\sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}}} = a\sqrt{\frac{bc}{p(p-a)}}$.

Ответ: $a\sqrt{\frac{bc}{p(p-a)}}$, где $p = \frac{a+b+c}{2}$.