Номер 453, страница 152 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

453. Углы A, B, C четырехугольника ABCD равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Найдите угол между биссектрисами:

а) углов A и B;

б) углов A и C;

в) двух углов, образованных парами прямых, которым принадлежат противоположные стороны.

Пусть в четырехугольнике $ABCD$ даны углы $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$, $\angle C = \gamma$. Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$, поэтому $\angle D = 360^\circ - \alpha - \beta - \gamma$.

а) углов А и В;

Пусть биссектрисы углов $A$ и $B$ пересекаются в точке $O$. Рассмотрим треугольник $AOB$. Углы этого треугольника равны $\angle OAB$, $\angle OBA$ и $\angle AOB$. Поскольку $AO$ и $BO$ – биссектрисы, то: $\angle OAB = \frac{\angle A}{2} = \frac{\alpha}{2}$ $\angle OBA = \frac{\angle B}{2} = \frac{\beta}{2}$

Сумма углов в треугольнике $AOB$ равна $180^\circ$: $\angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^\circ$ Подставим значения углов: $\angle AOB + \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = 180^\circ$ Отсюда находим угол $\angle AOB$: $\angle AOB = 180^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}$

Две пересекающиеся прямые образуют две пары вертикальных углов. Один из углов равен $180^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}$, а смежный с ним угол равен $180^\circ - (180^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}) = \frac{\alpha + \beta}{2}$. Обычно под углом между прямыми понимают острый угол. В общем случае, углы равны $\frac{\alpha + \beta}{2}$ и $180^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}$. Так как в условии не указано, какой из углов (острый или тупой) нужно найти, приведем формулу для угла внутри треугольника, образованного биссектрисами и стороной четырехугольника.

Заметим также, что $\alpha + \beta = 360^\circ - \gamma - \angle D$, поэтому угол можно выразить через два других угла четырехугольника: $\angle AOB = 180^\circ - \frac{360^\circ - \gamma - \angle D}{2} = 180^\circ - (180^\circ - \frac{\gamma + \angle D}{2}) = \frac{\gamma + \angle D}{2}$.

Ответ: Угол равен $180^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}$ (или, что то же самое, $\frac{\gamma + \angle D}{2}$). Смежный с ним угол равен $\frac{\alpha + \beta}{2}$.

б) углов А и С;

Пусть биссектрисы углов $A$ и $C$ пересекаются в точке $P$, а биссектрисы углов $B$ и $D$ — в точке $Q$. Можно доказать, что угол между биссектрисами противоположных углов $A$ и $C$ выражается через два других противоположных угла $B$ и $D$.

Рассмотрим четырехугольник, образованный биссектрисами всех четырех углов $ABCD$. Оказывается, этот четырехугольник является вписанным в окружность. Угол между противоположными сторонами вписанного четырехугольника (в данном случае, биссектрисами $l_A$ и $l_C$) связан с другими углами.

Воспользуемся более прямым методом. Пусть биссектрисы $l_D$ и $l_C$ пересекаются в точке $O_{CD}$, а биссектрисы $l_D$ и $l_A$ — в точке $O_{DA}$. Точка пересечения биссектрис $l_A$ и $l_C$ — это точка $P$. Рассмотрим треугольник $P O_{DA} O_{CD}$. Его углы: $\angle P$ — искомый угол $\omega$ между биссектрисами $l_A$ и $l_C$. $\angle P O_{DA} O_{CD}$ — угол при вершине $O_{DA}$, который является углом между биссектрисами $l_A$ и $l_D$. Из треугольника $ADO_{DA}$ он равен $180^\circ - \frac{\alpha + \angle D}{2}$. $\angle P O_{CD} O_{DA}$ — угол при вершине $O_{CD}$, который является углом между биссектрисами $l_C$ и $l_D$. Из треугольника $CDO_{CD}$ он равен $180^\circ - \frac{\gamma + \angle D}{2}$.

Сумма углов в треугольнике $P O_{DA} O_{CD}$ равна $180^\circ$: $\omega + (180^\circ - \frac{\alpha + \angle D}{2}) + (180^\circ - \frac{\gamma + \angle D}{2}) = 180^\circ$ $\omega = 180^\circ - 360^\circ + \frac{\alpha + \angle D + \gamma + \angle D}{2} = -180^\circ + \frac{\alpha + \gamma + 2\angle D}{2}$ $\omega = \frac{\alpha + \gamma}{2} + \angle D - 180^\circ$

Теперь выразим $\alpha + \gamma$ через $\beta$ и $\angle D$: $\alpha + \gamma = 360^\circ - \beta - \angle D$. $\omega = \frac{360^\circ - \beta - \angle D}{2} + \angle D - 180^\circ = 180^\circ - \frac{\beta}{2} - \frac{\angle D}{2} + \angle D - 180^\circ = \frac{\angle D - \beta}{2}$ Угол между прямыми является острым или прямым, поэтому берем модуль этой величины.

Ответ: Угол равен $\left|\frac{\angle D - \beta}{2}\right| = \left|\frac{(360^\circ - \alpha - \beta - \gamma) - \beta}{2}\right| = \left|\frac{360^\circ - \alpha - 2\beta - \gamma}{2}\right| = \left|180^\circ - \beta - \frac{\alpha + \gamma}{2}\right|$.

в) двух углов, образованных парами прямых, которым принадлежат противоположные стороны.

Пусть прямые, содержащие стороны $AD$ и $BC$, пересекаются в точке $E$, а прямые, содержащие стороны $AB$ и $DC$, пересекаются в точке $F$. Требуется найти угол между биссектрисами углов $\angle E$ и $\angle F$.

Можно показать, что искомый угол зависит только от углов $\alpha$ и $\gamma$ (или, симметрично, от $\beta$ и $\angle D$). Используем метод аналитической геометрии. Зададим направления прямых углами с осью Ox:

• Прямая $AB$: $\phi_1 = 0$
• Прямая $AD$: $\phi_4 = \alpha$
• Прямая $BC$: $\phi_2 = 180^\circ - \beta$
• Прямая $CD$: $\phi_3 = (180^\circ - \beta) + (180^\circ - \gamma) = 360^\circ - \beta - \gamma$

Угол при точке $E$ образован прямыми $AD(\phi_4)$ и $BC(\phi_2)$. Одна из его биссектрис имеет направление: $\theta_E = \frac{\phi_2 + \phi_4}{2} = \frac{180^\circ - \beta + \alpha}{2} = 90^\circ + \frac{\alpha - \beta}{2}$

Угол при точке $F$ образован прямыми $AB(\phi_1)$ и $CD(\phi_3)$. Одна из его биссектрис имеет направление: $\theta_F = \frac{\phi_1 + \phi_3}{2} = \frac{0 + 360^\circ - \beta - \gamma}{2} = 180^\circ - \frac{\beta + \gamma}{2}$

Угол между этими двумя биссектрисами равен разности их направлений: $\Delta\theta = |\theta_E - \theta_F| = \left|\left(90^\circ + \frac{\alpha - \beta}{2}\right) - \left(180^\circ - \frac{\beta + \gamma}{2}\right)\right|$ $\Delta\theta = \left|90^\circ + \frac{\alpha - \beta}{2} - 180^\circ + \frac{\beta + \gamma}{2}\right| = \left|-90^\circ + \frac{\alpha + \gamma}{2}\right| = \left|90^\circ - \frac{\alpha + \gamma}{2}\right|$

Другой угол между биссектрисами можно найти, взяв биссектрису, перпендикулярную одной из найденных. Например, для угла $E$ вторая биссектриса имеет направление $\theta_E' = \theta_E + 90^\circ$. Тогда угол между $\theta_E'$ и $\theta_F$ будет: $\Delta\theta' = |\theta_E' - \theta_F| = |(\theta_E + 90^\circ) - \theta_F| = |(\theta_E - \theta_F) + 90^\circ| = \left|\left(-90^\circ + \frac{\alpha+\gamma}{2}\right)+90^\circ\right| = \left|\frac{\alpha+\gamma}{2}\right|$

Таким образом, две биссектрисы угла $E$ и две биссектрисы угла $F$ образуют между собой углы $\left|\frac{\alpha+\gamma}{2}\right|$ и $\left|90^\circ - \frac{\alpha+\gamma}{2}\right|$.

Ответ: Углы между биссектрисами равны $\left|\frac{\alpha+\gamma}{2}\right|$ и $\left|90^\circ - \frac{\alpha+\gamma}{2}\right|$.