Номер 458, страница 153 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

458. Найдите площадь параллелограмма, учитывая, что его стороны равны $m$ и $n$, а внутренняя точка отстоит от вершин на $a$, $b$, $c$, $d$.

Пусть параллелограмм задан вершинами $A, B, C, D$, расположенными последовательно. Стороны параллелограмма равны $AB=CD=m$ и $BC=DA=n$. Пусть $P$ — внутренняя точка. Будем считать, что расстояния от точки $P$ до вершин даны в порядке их обхода: $PA=a, PB=b, PC=c, PD=d$.

Для решения задачи воспользуемся свойством, связывающим расстояния от произвольной точки до вершин параллелограмма. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. $O$ является серединой обеих диагоналей.

Применим теорему Аполлония о медиане к треугольникам $\triangle PAC$ и $\triangle PBD$.

В треугольнике $\triangle PAC$ отрезок $PO$ является медианой к стороне $AC$. По теореме Аполлония:$PA^2 + PC^2 = 2(PO^2 + AO^2)$. Подставляя известные расстояния, получаем:$a^2 + c^2 = 2(PO^2 + (AC/2)^2) = 2PO^2 + \frac{AC^2}{2}$.

Аналогично, в треугольнике $\triangle PBD$ отрезок $PO$ является медианой к стороне $BD$. По теореме Аполлония:$PB^2 + PD^2 = 2(PO^2 + BO^2)$. Подставляя известные расстояния, получаем:$b^2 + d^2 = 2(PO^2 + (BD/2)^2) = 2PO^2 + \frac{BD^2}{2}$.

Вычтем второе полученное равенство из первого:$(a^2 + c^2) - (b^2 + d^2) = (2PO^2 + \frac{AC^2}{2}) - (2PO^2 + \frac{BD^2}{2}) = \frac{1}{2}(AC^2 - BD^2)$.

Теперь выразим квадраты длин диагоналей через стороны параллелограмма и угол между ними. Пусть $\angle DAB = \theta$. Тогда смежный с ним угол $\angle ABC = 180^\circ - \theta$.

По теореме косинусов в треугольнике $\triangle ABD$:$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos\theta = m^2 + n^2 - 2mn\cos\theta$.

По теореме косинусов в треугольнике $\triangle ABC$:$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(180^\circ - \theta) = m^2 + n^2 - 2mn(-\cos\theta) = m^2 + n^2 + 2mn\cos\theta$.

Найдем разность квадратов диагоналей:$AC^2 - BD^2 = (m^2 + n^2 + 2mn\cos\theta) - (m^2 + n^2 - 2mn\cos\theta) = 4mn\cos\theta$.

Подставим это выражение в соотношение для расстояний:$a^2 + c^2 - b^2 - d^2 = \frac{1}{2}(4mn\cos\theta) = 2mn\cos\theta$.

Из этого равенства можно выразить косинус угла $\theta$:$\cos\theta = \frac{a^2 + c^2 - b^2 - d^2}{2mn}$.

Площадь параллелограмма $S$ находится по формуле $S = mn\sin\theta$. Поскольку точка $P$ внутренняя, параллелограмм невырожденный, и угол $0 < \theta < 180^\circ$, следовательно $\sin\theta > 0$. Мы можем найти синус через косинус:$\sin\theta = \sqrt{1-\cos^2\theta}$.

Подставим выражение для $\cos\theta$:$S = mn \sqrt{1 - \left(\frac{a^2+c^2-b^2-d^2}{2mn}\right)^2} = mn \frac{\sqrt{(2mn)^2 - (a^2+c^2-b^2-d^2)^2}}{2mn}$.

Упрощая, получаем окончательную формулу для площади:$S = \frac{1}{2} \sqrt{4m^2n^2 - (a^2+c^2-b^2-d^2)^2}$.

Ответ: $S = \frac{1}{2} \sqrt{4m^2n^2 - (a^2+c^2-b^2-d^2)^2}$.