Номер 465, страница 153 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

465. Найдите длину отрезка, концы которого:

а) лежат на сторонах треугольника и делят каждую в отношении $n : m$, если считать от их общей вершины, учитывая, что третья сторона треугольника равна $a$;

б) лежат на боковых сторонах трапеции и делят их в отношении $m : n$, если считать от большего основания длиной $a$, при этом другое основание равно $b$.

а) Рассмотрим треугольник, обозначим его вершины как $A, B, C$. Пусть концы искомого отрезка лежат на сторонах $AB$ и $AC$, имеющих общую вершину $A$. Обозначим эти точки как $M$ на $AB$ и $N$ на $AC$. Третья сторона треугольника, $BC$, имеет длину $a$.

По условию, точки $M$ и $N$ делят стороны, на которых они лежат, в отношении $n:m$, если считать от их общей вершины $A$. Это означает, что выполняются соотношения:

$AM : MB = n : m$

$AN : NC = n : m$

Из первого отношения следует, что $\frac{AM}{MB} = \frac{n}{m}$. Мы можем выразить отношение длины отрезка $AM$ к длине всей стороны $AB$. Если $AM = k \cdot n$, то $MB = k \cdot m$ для некоторого коэффициента пропорциональности $k$. Тогда $AB = AM + MB = k \cdot n + k \cdot m = k(n+m)$. Таким образом, отношение $\frac{AM}{AB} = \frac{k \cdot n}{k(n+m)} = \frac{n}{n+m}$.

Аналогично для стороны $AC$ получаем $\frac{AN}{AC} = \frac{n}{n+m}$.

Теперь сравним треугольники $\triangle AMN$ и $\triangle ABC$. Угол $\angle A$ у них общий. Стороны, прилежащие к этому углу, пропорциональны:

$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{n}{n+m}$

Следовательно, по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), $\triangle AMN \sim \triangle ABC$.

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно коэффициенту подобия:

$\frac{MN}{BC} = \frac{AM}{AB} = \frac{n}{n+m}$

Подставив известное значение $BC=a$, получим:

$\frac{MN}{a} = \frac{n}{n+m}$

Отсюда находим длину отрезка $MN$:

$MN = a \cdot \frac{n}{n+m}$

Ответ: $\frac{an}{n+m}$.

б) Рассмотрим трапецию $ABCD$, у которой основания $AD=a$ и $BC=b$, причем $a$ — длина большего основания. Концы искомого отрезка, точки $M$ и $N$, лежат на боковых сторонах $AB$ и $CD$ соответственно.

По условию, точки $M$ и $N$ делят боковые стороны в отношении $m:n$, считая от большего основания $AD$. Это означает:

$AM : MB = m : n$

$DN : NC = m : n$

Отрезок, соединяющий точки, делящие боковые стороны трапеции в одинаковом отношении, параллелен ее основаниям. Таким образом, $MN || AD || BC$.

Для нахождения длины $MN$ воспользуемся методом вспомогательного построения. Проведем через вершину $C$ прямую, параллельную боковой стороне $AB$. Пусть эта прямая пересекает основание $AD$ в точке $P$, а отрезок $MN$ — в точке $K$.

Четырехугольник $ABCP$ является параллелограммом по построению ($AB || CP$ и $BC || AP$). Следовательно, $AP = BC = b$ и $AB = CP$.

Длина отрезка $PD$ на большем основании равна $PD = AD - AP = a - b$.

Длину искомого отрезка $MN$ можно представить как сумму длин отрезков $MK$ и $KN$: $MN = MK + KN$.

Рассмотрим четырехугольник $APKM$. Его стороны $AP$ и $MK$ параллельны, так как $AP \subset AD$, $MK \subset MN$ и $AD || MN$. Стороны $AM$ и $PK$ также параллельны, так как $AM \subset AB$, $PK \subset CP$ и $AB || CP$. Значит, $APKM$ — параллелограмм.

Из этого следует, что $MK = AP = b$.

Теперь найдем длину отрезка $KN$. Рассмотрим $\triangle CPD$. Так как $MN || AD$, то $KN || PD$. Следовательно, $\triangle CKN$ подобен $\triangle CPD$. Коэффициент подобия равен отношению $\frac{CN}{CD}$.

Из условия $DN : NC = m : n$ выразим это отношение. Если $DN = k \cdot m$, то $NC = k \cdot n$ для некоторого $k$. Тогда $CD = DN + NC = k \cdot m + k \cdot n = k(m+n)$. Получаем:

$\frac{CN}{CD} = \frac{k \cdot n}{k(m+n)} = \frac{n}{m+n}$

Из подобия треугольников $\triangle CKN$ и $\triangle CPD$ следует:

$\frac{KN}{PD} = \frac{CN}{CD} = \frac{n}{m+n}$

Подставляя $PD = a-b$, находим $KN$:

$KN = PD \cdot \frac{n}{m+n} = (a-b) \frac{n}{m+n}$

Наконец, вычисляем полную длину отрезка $MN$:

$MN = MK + KN = b + (a-b) \frac{n}{m+n} = \frac{b(m+n) + n(a-b)}{m+n} = \frac{bm + bn + an - bn}{m+n} = \frac{an + bm}{m+n}$

Ответ: $\frac{an+bm}{m+n}$.