Номер 461, страница 153 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

461*. Докажите, что произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений его противолежащих сторон (теорема Птолемея).

Для доказательства теоремы Птолемея рассмотрим вписанный в окружность четырехугольник $ABCD$. Обозначим длины его сторон как $AB$, $BC$, $CD$, $DA$, а длины диагоналей — $AC$ и $BD$. Требуется доказать, что $AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot DA$.

Для доказательства используем метод подобия треугольников. Проведем диагональ $BD$ и выберем на ней такую точку $K$, что $\angle DAK = \angle CAB$.

Рассмотрим пару треугольников: $\triangle ADK$ и $\triangle ACB$. У них $\angle DAK = \angle CAB$ по построению. Углы $\angle ADK$ (который является углом $\angle ADB$) и $\angle ACB$ равны, так как они являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу $AB$. Следовательно, $\triangle ADK \sim \triangle ACB$ по двум углам (признак подобия по двум углам). Из подобия следует соотношение сторон: $\frac{AD}{AC} = \frac{DK}{BC}$. Преобразовав это соотношение, получим первое равенство: $AD \cdot BC = AC \cdot DK$ (1).

Далее рассмотрим вторую пару треугольников: $\triangle ABK$ и $\triangle ADC$. Углы $\angle ABK$ (он же $\angle ABD$) и $\angle ACD$ равны, так как они опираются на одну и ту же дугу $AD$. Также из равенства $\angle DAK = \angle CAB$ следует, что $\angle DAC = \angle DAK + \angle KAC = \angle CAB + \angle KAC = \angle KAB$. Таким образом, $\triangle ABK \sim \triangle ADC$ по двум углам. Из этого подобия следует соотношение $\frac{AB}{AC} = \frac{BK}{CD}$, из которого получаем второе равенство: $AB \cdot CD = AC \cdot BK$ (2).

Сложим полученные равенства (1) и (2):$AD \cdot BC + AB \cdot CD = AC \cdot DK + AC \cdot BK$. Вынеся общий множитель $AC$ в правой части, получим:$AD \cdot BC + AB \cdot CD = AC \cdot (DK + BK)$. Поскольку точка $K$ лежит на диагонали $BD$, сумма длин отрезков $DK + BK$ равна длине диагонали $BD$. Заменив $DK + BK$ на $BD$, мы приходим к окончательному результату:$AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD$. Теорема доказана.

Ответ: Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений его противолежащих сторон, что выражается формулой $AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD$.