Номер 459, страница 153 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

459. Найдите площадь четырехугольника, учитывая, что его стороны равны $a, b, c$ и $d$, а его диагонали — $k$ и $l$.

Для нахождения площади произвольного четырехугольника по его сторонам и диагоналям существует формула, являющаяся обобщением формулы Герона для треугольника. Пусть стороны четырехугольника, взятые последовательно, равны $a$, $b$, $c$ и $d$, а его диагонали равны $k$ и $l$.

Площадь четырехугольника можно выразить через длины его диагоналей и угол $\phi$ между ними:

$S = \frac{1}{2}kl \sin\phi$

Чтобы найти площадь, нам необходимо выразить $\sin\phi$ через известные величины $a, b, c, d, k, l$. Для этого воспользуемся теоремой косинусов.

Пусть четырехугольник $ABCD$ имеет стороны $AB = a$, $BC = b$, $CD = c$, $DA = d$ и диагонали $AC = k$, $BD = l$. Пусть диагонали пересекаются в точке $O$. Обозначим отрезки диагоналей $AO=k_1, OC=k_2, BO=l_1, OD=l_2$. Угол между диагоналями обозначим как $\angle AOB = \phi$. Тогда $\angle BOC = 180^\circ - \phi$, $\angle COD = \phi$, $\angle DOA = 180^\circ - \phi$.

Применим теорему косинусов к четырем треугольникам, образованным диагоналями:

• В $\triangle AOB$: $a^2 = k_1^2 + l_1^2 - 2k_1l_1 \cos\phi$
• В $\triangle BOC$: $b^2 = l_1^2 + k_2^2 - 2l_1k_2 \cos(180^\circ - \phi) = l_1^2 + k_2^2 + 2l_1k_2 \cos\phi$
• В $\triangle COD$: $c^2 = k_2^2 + l_2^2 - 2k_2l_2 \cos\phi$
• В $\triangle DOA$: $d^2 = l_2^2 + k_1^2 - 2l_2k_1 \cos(180^\circ - \phi) = l_2^2 + k_1^2 + 2l_2k_1 \cos\phi$

Рассмотрим следующее выражение, составленное из квадратов сторон:

$a^2 - b^2 + c^2 - d^2 = (k_1^2 + l_1^2 - 2k_1l_1 \cos\phi) - (l_1^2 + k_2^2 + 2l_1k_2 \cos\phi) + (k_2^2 + l_2^2 - 2k_2l_2 \cos\phi) - (l_2^2 + k_1^2 + 2l_2k_1 \cos\phi)$

После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых, все члены с квадратами отрезков диагоналей ($k_1^2, k_2^2, l_1^2, l_2^2$) взаимно уничтожаются:

$a^2 - b^2 + c^2 - d^2 = -2k_1l_1 \cos\phi - 2l_1k_2 \cos\phi - 2k_2l_2 \cos\phi - 2l_2k_1 \cos\phi$

Вынесем общий множитель $-2\cos\phi$ за скобки:

$a^2 - b^2 + c^2 - d^2 = -2\cos\phi (k_1l_1 + k_2l_1 + k_2l_2 + k_1l_2)$

Выражение в скобках можно разложить на множители:

$k_1l_1 + k_2l_1 + k_2l_2 + k_1l_2 = l_1(k_1 + k_2) + l_2(k_2 + k_1) = (k_1 + k_2)(l_1 + l_2)$

Так как $k = k_1 + k_2$ и $l = l_1 + l_2$, получаем:

$a^2 - b^2 + c^2 - d^2 = -2kl \cos\phi$

Из этого равенства выражаем $\cos\phi$:

$\cos\phi = - \frac{a^2 - b^2 + c^2 - d^2}{2kl}$

Теперь найдем $\sin\phi$ с помощью основного тригонометрического тождества $\sin^2\phi + \cos^2\phi = 1$. Поскольку $\phi$ — угол между диагоналями, $0 < \phi < 180^\circ$, и, следовательно, $\sin\phi > 0$.

$\sin^2\phi = 1 - \cos^2\phi = 1 - \left( - \frac{a^2 - b^2 + c^2 - d^2}{2kl} \right)^2 = 1 - \frac{(a^2 - b^2 + c^2 - d^2)^2}{4k^2l^2}$

$\sin^2\phi = \frac{4k^2l^2 - (a^2 - b^2 + c^2 - d^2)^2}{4k^2l^2}$

$\sin\phi = \frac{\sqrt{4k^2l^2 - (a^2 - b^2 + c^2 - d^2)^2}}{2kl}$

Подставим полученное выражение для $\sin\phi$ в формулу для площади $S = \frac{1}{2}kl \sin\phi$:

$S = \frac{1}{2}kl \cdot \frac{\sqrt{4k^2l^2 - (a^2 - b^2 + c^2 - d^2)^2}}{2kl}$

Сократив $kl$, получаем окончательную формулу для площади четырехугольника:

$S = \frac{1}{4}\sqrt{4k^2l^2 - (a^2 - b^2 + c^2 - d^2)^2}$

Важно отметить, что эта формула справедлива, когда стороны $a, b, c, d$ взяты в последовательном порядке по периметру четырехугольника.

Ответ: $S = \frac{1}{4}\sqrt{4k^2l^2 - (a^2 - b^2 + c^2 - d^2)^2}$