Номер 471, страница 154 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

471. A E B

Через точку пересечения биссектрис треугольника проведена прямая, параллельная одной из сторон. Докажите, что отрезок этой прямой, заключенный между сторонами треугольника, равен сумме отрезков сторон, заключенных между параллельными прямыми.

Для решения задачи введем обозначения и выполним пошаговое доказательство.

Дано:

Пусть дан треугольник $\triangle ABC$. Точка $I$ — точка пересечения его биссектрис (инцентр). Через точку $I$ проведена прямая, параллельная стороне $BC$, которая пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Таким образом, у нас есть:

• $\triangle ABC$
• $I$ — точка пересечения биссектрис
• $M \in AB$, $N \in AC$
• $MN \parallel BC$

Доказать:

Требуется доказать, что длина отрезка $MN$ равна сумме длин отрезков $BM$ и $CN$. Математически это записывается как:
$MN = BM + CN$

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник $\triangle MBI$.
Поскольку точка $I$ является точкой пересечения биссектрис, луч $BI$ — это биссектриса угла $\angle ABC$. Следовательно, по определению биссектрисы, $\angle MBI = \angle IBC$.
По условию, прямая $MN$ параллельна стороне $BC$. Прямая $BI$ является секущей для этих параллельных прямых. Углы $\angle MIB$ и $\angle IBC$ являются внутренними накрест лежащими, а значит, они равны: $\angle MIB = \angle IBC$.
Из этих двух равенств следует, что $\angle MBI = \angle MIB$.
Если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. Следовательно, $\triangle MBI$ — равнобедренный с основанием $BI$. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Таким образом, мы получаем: $MI = BM$.

2. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle NCI$.
Аналогично, луч $CI$ — это биссектриса угла $\angle ACB$, поэтому $\angle NCI = \angle ICB$.
Прямая $CI$ является секущей для параллельных прямых $MN$ и $BC$. Углы $\angle NIC$ и $\angle ICB$ являются внутренними накрест лежащими, следовательно, они равны: $\angle NIC = \angle ICB$.
Отсюда получаем, что $\angle NCI = \angle NIC$.
Следовательно, треугольник $\triangle NCI$ также является равнобедренным с основанием $CI$. Равны и стороны, лежащие напротив равных углов: $NI = CN$.

3. Отрезок $MN$ состоит из суммы отрезков $MI$ и $NI$ по аксиоме измерения отрезков: $MN = MI + NI$.
Подставим в это равенство результаты, полученные в пунктах 1 и 2 ($MI = BM$ и $NI = CN$):
$MN = BM + CN$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Отрезок прямой, проведенный через точку пересечения биссектрис треугольника параллельно одной из его сторон, действительно равен сумме отрезков двух других сторон, заключенных между этими параллельными прямыми.