Номер 476, страница 155 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

476. Через точку внутри круга с радиусом $r$, отстоящую от центра на $a$, проведены диаметр и перпендикулярная ему хорда. Найдите эту хорду.

Пусть O - центр круга, а M - точка внутри него. Согласно условию, радиус круга равен $r$, а расстояние от центра до точки M составляет $a$, то есть $OM = a$.

Через точку M проведены диаметр и перпендикулярная ему хорда. Обозначим эту хорду как CD. Так как хорда CD перпендикулярна диаметру, проходящему через точку M, то она также перпендикулярна и радиусу OM, который является частью этого диаметра. Таким образом, $OM \perp CD$.

Рассмотрим треугольник, образованный центром круга O, точкой M и одной из конечных точек хорды, например, C. Получим треугольник $\triangle OMC$. Этот треугольник является прямоугольным, поскольку угол $\angle OMC$ равен $90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle OMC$:

• Гипотенуза $OC$ равна радиусу круга, так как C — точка на окружности. Следовательно, $OC = r$.
• Катет $OM$ равен расстоянию от центра до точки M. Следовательно, $OM = a$.
• Катет $MC$ — это половина длины искомой хорды CD.

Применим теорему Пифагора к треугольнику $\triangle OMC$: $OC^2 = OM^2 + MC^2$

Подставим известные значения в формулу: $r^2 = a^2 + MC^2$

Выразим из этого уравнения $MC^2$: $MC^2 = r^2 - a^2$

Тогда длина отрезка MC равна: $MC = \sqrt{r^2 - a^2}$

По свойству хорд, радиус (или диаметр), перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам. Значит, точка M является серединой хорды CD. Поэтому длина всей хорды CD равна удвоенной длине отрезка MC: $CD = 2 \cdot MC$

Подставив найденное выражение для MC, получим: $CD = 2\sqrt{r^2 - a^2}$

Ответ: $2\sqrt{r^2 - a^2}$