Номер 474, страница 155 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

474. Через середину хорды длиной $a$ проведена другая хорда длиной $b$. Найдите отрезки, на которые эта хорда делится первой хордой.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством (теоремой) о пересекающихся хордах в окружности. Теорема гласит, что если две хорды пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой.

Пусть первая хорда имеет длину $a$. Согласно условию, она делится точкой пересечения пополам. Следовательно, длины отрезков этой хорды равны $\frac{a}{2}$ и $\frac{a}{2}$.

Длина второй хорды равна $b$. Пусть точка пересечения делит эту хорду на два отрезка, длины которых мы обозначим как $x_1$ и $x_2$. Нам нужно найти значения $x_1$ и $x_2$. Очевидно, что их сумма равна длине всей хорды: $x_1 + x_2 = b$.

Применяя теорему о пересекающихся хордах, составим уравнение:
$x_1 \cdot x_2 = \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2}$
$x_1 \cdot x_2 = \frac{a^2}{4}$

Мы получили систему уравнений:
$\begin{cases} x_1 + x_2 = b \\ x_1 \cdot x_2 = \frac{a^2}{4} \end{cases}$

Согласно обратной теореме Виета, $x_1$ и $x_2$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - bz + \frac{a^2}{4} = 0$.

Решим это уравнение относительно $z$. Найдем дискриминант $D$:
$D = (-b)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{a^2}{4} = b^2 - a^2$

Для существования вещественных решений необходимо, чтобы дискриминант был неотрицательным: $D \ge 0$, то есть $b^2 \ge a^2$, что для положительных длин означает $b \ge a$.

Корни уравнения, которые и являются искомыми длинами отрезков, находятся по формуле:
$z_{1,2} = \frac{-(-b) \pm \sqrt{D}}{2 \cdot 1} = \frac{b \pm \sqrt{b^2 - a^2}}{2}$

Следовательно, вторая хорда делится на отрезки следующей длины:

Ответ: $\frac{b + \sqrt{b^2 - a^2}}{2}$ и $\frac{b - \sqrt{b^2 - a^2}}{2}$.