Номер 478, страница 155 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

478*. Используя свойства внутренней точки хорды окружности, докажите теорему косинусов и теорему Пифагора.

Данная задача решается с использованием свойства степени точки относительно окружности, которое для внутренней точки окружности известно как теорема о пересекающихся хордах.

Доказательство теоремы косинусов

Докажем теорему косинусов для произвольного треугольника $ABC$ со сторонами $a, b, c$, лежащими напротив вершин $A, B, C$ соответственно. Формула, которую мы будем доказывать, имеет вид: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$.

1. Проведем из вершины $A$ высоту $AD$ к стороне $BC$ (или ее продолжению). Пусть длина этой высоты равна $h$, а точка $D$ — ее основание.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADC$. В нем:
$AD^2 + CD^2 = AC^2$
$h^2 + (b \cos C)^2 = b^2$
Отсюда получаем выражение для квадрата высоты:
$h^2 = b^2 - (b \cos C)^2 = b^2 - b^2 \cos^2 C$.

3. Теперь мы покажем, как этот же результат для $h^2$ можно получить, используя свойство внутренней точки хорды. Выражение $b^2 - (b \cos C)^2$ можно разложить на множители: $h^2 = (b - b \cos C)(b + b \cos C)$. Построим окружность с центром в точке $C$ и радиусом $R=b$. На одном из диаметров этой окружности отметим точку $D'$ на расстоянии $d = |b \cos C|$ от центра $C$. Проведем через точку $D'$ хорду, перпендикулярную этому диаметру. По свойству степени точки (или по теореме Пифагора для треугольника, образованного радиусом, половиной хорды и отрезком $d$), квадрат половины этой хорды равен $R^2 - d^2$. В нашем случае это $b^2 - (b \cos C)^2$. Произведение отрезков, на которые точка $D'$ делит эту хорду, равно квадрату половины хорды, то есть $b^2 - (b \cos C)^2$. Таким образом, мы показали, что величина $h^2$ может быть представлена как произведение отрезков хорды.

4. Вернемся к исходному треугольнику. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADB$. По теореме Пифагора:
$c^2 = AB^2 = AD^2 + BD^2 = h^2 + BD^2$.

5. Длина отрезка $BD$ равна $|BC - CD| = |a - b \cos C|$. Заметим, что эта формула верна как для острого угла $C$ (когда $D$ лежит между $B$ и $C$), так и для тупого (когда $C$ лежит между $B$ и $D$, и $\cos C$ отрицателен).

6. Подставим выражения для $h^2$ и $BD$ в формулу для $c^2$:
$c^2 = (b^2 - b^2 \cos^2 C) + (a - b \cos C)^2$
$c^2 = b^2 - b^2 \cos^2 C + (a^2 - 2ab \cos C + b^2 \cos^2 C)$
$c^2 = b^2 - b^2 \cos^2 C + a^2 - 2ab \cos C + b^2 \cos^2 C$
Сокращая слагаемые $-b^2 \cos^2 C$ и $+b^2 \cos^2 C$, получаем:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$.

Теорема косинусов доказана. В доказательстве мы использовали свойство хорды для геометрической интерпретации величины $h^2$.

Ответ: Теорема косинусов $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$ доказана с использованием свойства внутренней точки хорды для обоснования выражения квадрата высоты треугольника $h^2 = b^2 - (b\cos C)^2$.

Доказательство теоремы Пифагора

Теорема Пифагора является частным случаем теоремы косинусов.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором угол $C$ прямой, то есть $\angle C = 90^\circ$. Стороны, противолежащие вершинам $A, B, C$, равны $a, b, c$ соответственно. В данном случае $c$ является гипотенузой, а $a$ и $b$ — катетами.

2. Воспользуемся доказанной выше теоремой косинусов:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$.

3. Подставим в эту формулу значение угла $C = 90^\circ$:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(90^\circ)$.

4. Так как $\cos(90^\circ) = 0$, последнее слагаемое в формуле обращается в ноль:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot 0$
$c^2 = a^2 + b^2$.

Таким образом, теорема Пифагора следует напрямую из теоремы косинусов, доказательство которой опиралось на свойство внутренней точки хорды окружности.

Альтернативный прямой довод, использующий свойство точки и окружности (в данном случае касательной и секущей, что является предельным случаем теоремы о пересекающихся хордах):

1. Пусть $\triangle ABC$ - прямоугольный с $\angle C = 90^\circ$.
2. Построим окружность с центром в точке $B$ и радиусом $a=BC$.
3. Поскольку $\angle C = 90^\circ$, то катет $AC=b$ является касательной к окружности в точке $C$.
4. Проведем через точку $A$ и центр окружности $B$ секущую. Эта секущая пересекает окружность в двух точках, назовем их $D$ и $E$. Расстояние $AB=c$.
5. Согласно свойству касательной и секущей (степень точки $A$): $AC^2 = AD \cdot AE$.
6. Длины отрезков секущей от точки $A$ равны $AD = AB - R = c - a$ и $AE = AB + R = c + a$.
7. Подставляем эти значения в равенство: $b^2 = (c-a)(c+a)$.
8. $b^2 = c^2 - a^2$, откуда следует $c^2 = a^2 + b^2$.

Хотя этот элегантный метод использует свойство внешней точки, он тесно связан с общей теорией степени точки, упомянутой в условии.

Ответ: Теорема Пифагора $c^2 = a^2 + b^2$ доказана как частный случай теоремы косинусов при $\angle C = 90^\circ$, что соответствует условию задачи.