Номер 482, страница 155 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

482*. Выразите через радиус окружности сторону правильного вписанного:

а) двенадцатиугольника;

б) пятнадцатиугольника;

в) шестнадцатиугольника.

Для решения задачи воспользуемся общей формулой для вычисления стороны $a_n$ правильного $n$-угольника, вписанного в окружность радиуса $R$:

$a_n = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$

Также в некоторых случаях удобно использовать рекуррентную формулу, связывающую сторону $a_n$ и сторону $a_{2n}$ многоугольника с удвоенным числом сторон:

$a_{2n} = \sqrt{2R^2 - R\sqrt{4R^2 - a_n^2}}$

Для нахождения стороны правильного двенадцатиугольника ($a_{12}$) воспользуемся формулой для стороны многоугольника с удвоенным числом сторон, зная сторону правильного шестиугольника ($a_6$).

Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу этой окружности: $a_6 = R$.

Применим рекуррентную формулу для $n=6$:

$a_{12}^2 = 2R^2 - R\sqrt{4R^2-a_6^2} = 2R^2 - R\sqrt{4R^2-R^2} = 2R^2 - R\sqrt{3R^2} = 2R^2 - R^2\sqrt{3} = R^2(2-\sqrt{3})$.

Извлекая квадратный корень, получаем искомую сторону двенадцатиугольника:

$a_{12} = \sqrt{R^2(2-\sqrt{3})} = R\sqrt{2-\sqrt{3}}$.

Ответ: $a_{12} = R\sqrt{2-\sqrt{3}}$

Для нахождения стороны правильного пятнадцатиугольника ($a_{15}$) используем общую формулу:

$a_{15} = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{15}\right) = 2R \sin(12^\circ)$.

Для вычисления $\sin(12^\circ)$ представим $12^\circ$ как разность углов $72^\circ$ и $60^\circ$ и применим формулу синуса разности:

$\sin(12^\circ) = \sin(72^\circ - 60^\circ) = \sin(72^\circ)\cos(60^\circ) - \cos(72^\circ)\sin(60^\circ)$.

Нам известны значения для $60^\circ$: $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$ и $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Значения для $72^\circ$ можно найти через $\sin(18^\circ)$ ($\cos(72^\circ) = \sin(18^\circ)$). Из тождества $\sin(2 \cdot 18^\circ) = \cos(3 \cdot 18^\circ)$ получают, что $\sin(18^\circ) = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$.

Тогда $\cos(72^\circ) = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ и $\sin(72^\circ) = \cos(18^\circ) = \sqrt{1-\sin^2(18^\circ)} = \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$.

Подставляем все значения в формулу для $\sin(12^\circ)$:

$\sin(12^\circ) = \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4} \cdot \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}-1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}} - \sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{8}$.

Теперь находим сторону пятнадцатиугольника $a_{15}$:

$a_{15} = 2R \cdot \left( \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}} - \sqrt{15} + \sqrt{3}}{8} \right) = R \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}} - \sqrt{15} + \sqrt{3}}{4}$.

Ответ: $a_{15} = R \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}} - \sqrt{15} + \sqrt{3}}{4}$

Сторону правильного шестнадцатиугольника ($a_{16}$) найдём путём последовательного применения рекуррентной формулы, начиная со стороны квадрата ($a_4$).

1. Сторона правильного вписанного квадрата ($n=4$) известна: $a_4 = R\sqrt{2}$.

2. Найдём сторону правильного восьмиугольника ($a_8$), удвоив число сторон квадрата:

$a_8^2 = 2R^2 - R\sqrt{4R^2 - a_4^2} = 2R^2 - R\sqrt{4R^2 - (R\sqrt{2})^2} = 2R^2 - R\sqrt{2R^2} = R^2(2-\sqrt{2})$.

Следовательно, $a_8 = R\sqrt{2-\sqrt{2}}$.

3. Теперь, используя $a_8$, найдём сторону правильного шестнадцатиугольника ($a_{16}$):

$a_{16}^2 = 2R^2 - R\sqrt{4R^2 - a_8^2} = 2R^2 - R\sqrt{4R^2 - (R\sqrt{2-\sqrt{2}})^2} = 2R^2 - R\sqrt{4R^2 - R^2(2-\sqrt{2})}$.

$a_{16}^2 = 2R^2 - R^2\sqrt{4 - 2 + \sqrt{2}} = 2R^2 - R^2\sqrt{2+\sqrt{2}} = R^2(2-\sqrt{2+\sqrt{2}})$.

Извлекая корень, получаем окончательный результат:

$a_{16} = R\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}$.

Ответ: $a_{16} = R\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}$