Номер 483, страница 156 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

483*. Постройте правильный двенадцатиугольник и проведите все его диагонали. Найдите точки, через которые точно проходят:

a) три диагонали;

б) четыре диагонали.

Обоснуйте полученные гипотезы.

Задача состоит в построении правильного двенадцатиугольника, проведении всех его диагоналей и нахождении точек, через которые проходит ровно три или ровно четыре диагонали. Решение этой задачи опирается на высокую симметрию правильного двенадцатиугольника.

Обозначим вершины правильного двенадцатиугольника, вписанного в окружность с центром в точке $O$, как $A_0, A_1, A_2, \dots, A_{11}$.

Всего у двенадцатиугольника $n=12$ имеется $\frac{n(n-3)}{2} = \frac{12(12-3)}{2} = 54$ диагонали.

Самая очевидная точка пересечения диагоналей — это центр многоугольника $O$. Через него проходят все "большие" диагонали, соединяющие противоположные вершины. Таких диагоналей 6: $A_0A_6, A_1A_7, A_2A_8, A_3A_9, A_4A_{10}, A_5A_{11}$. Таким образом, центр $O$ является точкой пересечения 6 диагоналей и не является ответом на поставленные вопросы.

а) три диагонали

Существует несколько типов точек, в которых пересекаются ровно три диагонали. Рассмотрим наиболее простой для обоснования тип.

Эти точки лежат на больших диагоналях (диаметрах). Возьмем в качестве примера большую диагональ $A_0A_6$. Она является осью симметрии для двенадцатиугольника. Рассмотрим пару диагоналей, симметричных относительно этой оси, например, $A_1A_8$ и $A_4A_{11}$.

Вершина $A_1$ симметрична вершине $A_{11}$ относительно оси $A_0A_6$.

Вершина $A_8$ симметрична вершине $A_4$ относительно оси $A_0A_6$.

Следовательно, диагональ $A_1A_8$ симметрична диагонали $A_4A_{11}$. Если эти диагонали не параллельны, точка их пересечения должна лежать на оси симметрии $A_0A_6$. Диагонали не параллельны, так как они имеют разную длину (хорда $A_1A_8$ стягивает дугу в $7 \cdot 30^\circ = 210^\circ$, а хорда $A_4A_{11}$ стягивает дугу в $7 \cdot 30^\circ = 210^\circ$, но они не образуют равнобедренную трапецию с осью симметрии).

Таким образом, точка пересечения диагоналей $A_1A_8$ и $A_4A_{11}$ лежит на диагонали $A_0A_6$. В этой точке пересекаются три диагонали: $A_0A_6$, $A_1A_8$ и $A_4A_{11}$.

Можно показать (например, с помощью метода координат), что никакая другая диагональ через эту точку не проходит.

Сколько всего таких точек? На каждой из 6 больших диагоналей лежат по две такие точки, симметричные относительно центра. Например, на диагонали $A_0A_6$ вторая такая точка является точкой пересечения диагоналей $A_2A_7$ и $A_5A_{10}$ (симметричная пара относительно $A_0A_6$).

Всего таких точек $6 \times 2 = 12$. Они образуют вершины правильного двенадцатиугольника, повернутого относительно исходного.

Существуют и другие типы точек, где пересекаются по три диагонали (например, 24 точки, образующие два других правильных двенадцатиугольника), но описанный выше тип наиболее нагляден.

Ответ: Точки, в которых пересекаются ровно три диагонали, существуют. Например, это 12 точек, лежащих попарно на шести больших диагоналях (диаметрах) многоугольника. Каждая такая точка является точкой пересечения большой диагонали и пары симметричных относительно неё других диагоналей (например, точка пересечения $A_0A_6, A_1A_8, A_4A_{11}$).

б) четыре диагонали

Точки, в которых пересекаются ровно четыре диагонали, также существуют, и их можно найти, используя соображения симметрии. Этих точек всего 6, и они образуют правильный шестиугольник, вписанный в окружность с центром $O$.

Эти точки лежат на осях симметрии, проходящих через середины противоположных сторон двенадцатиугольника. Таких осей 6, например, ось, проходящая через середины сторон $A_0A_1$ и $A_6A_7$.

Обоснование существования таких точек требует более сложных вычислений, но можно указать одну из таких конфигураций. Например, диагонали $A_0A_4$, $A_1A_5$, $A_2A_7$ и $A_3A_9$ пересекаются в одной точке.

Дадим геометрическую интерпретацию. Рассмотрим два вписанных в двенадцатиугольник равносторонних треугольника: $T_1$ с вершинами $\{A_0, A_4, A_8\}$ и $T_2$ с вершинами $\{A_1, A_5, A_9\}$. Точка пересечения их сторон $A_0A_4$ и $A_1A_5$ является одной из искомых точек. Через нее также проходят диагонали $A_2A_7$ и $A_3A_9$.

Эта гипотеза проверяется прямым вычислением в координатах, хотя и довольно громоздким. Точка пересечения диагоналей $A_0A_4$ и $A_1A_5$ имеет координаты $(\frac{R(2-\sqrt{3})}{2}, \frac{R}{2})$ в системе, где $A_0$ имеет координаты $(R,0)$. Проверка показывает, что и две другие указанные диагонали проходят через эту же точку.

В силу симметрии двенадцатиугольника, существует 6 таких точек (получаемых поворотом данной конфигурации на углы, кратные $60^\circ$). Эти 6 точек образуют правильный шестиугольник.

Ответ: Точки, в которых пересекаются ровно четыре диагонали, существуют. Их всего 6, и они образуют правильный шестиугольник с центром в центре двенадцатиугольника. Каждая такая точка является точкой пересечения четырех диагоналей, например, диагоналей $A_0A_4, A_1A_5, A_2A_7, A_3A_9$.