Номер 472, страница 154 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

472. Один из углов треугольника равен $\alpha$. Найдите угол, образованный:

а) биссектрисами внутренних углов, прилежащих к стороне против угла $\alpha$;

б) биссектрисами внешних углов, прилежащих к стороне против угла $\alpha$;

в) биссектрисой одного из внутренних углов, прилежащих к стороне против угла $\alpha$, и биссектрисой внешнего угла при другом конце этой стороны.

Пусть дан треугольник $ABC$, в котором $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$, $\angle C = \gamma$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$, откуда следует, что $\beta + \gamma = 180^\circ - \alpha$. Сторона, противолежащая углу $\alpha$, — это сторона $BC$.

а) биссектрисами внутренних углов, прилежащих к стороне против угла α;

Найдем угол, образованный биссектрисами внутренних углов $\angle B$ и $\angle C$. Пусть биссектрисы этих углов пересекаются в точке $O$. Точка $O$ является центром вписанной окружности треугольника $ABC$. Рассмотрим треугольник $BOC$. Углы этого треугольника равны: $\angle OBC = \frac{\angle B}{2} = \frac{\beta}{2}$ $\angle OCB = \frac{\angle C}{2} = \frac{\gamma}{2}$ Сумма углов в треугольнике $BOC$ равна $180^\circ$: $\angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180^\circ$ $\angle BOC + \frac{\beta}{2} + \frac{\gamma}{2} = 180^\circ$ Выразим искомый угол $\angle BOC$: $\angle BOC = 180^\circ - \left(\frac{\beta}{2} + \frac{\gamma}{2}\right) = 180^\circ - \frac{\beta + \gamma}{2}$ Подставим значение $\beta + \gamma = 180^\circ - \alpha$: $\angle BOC = 180^\circ - \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 180^\circ - \left(90^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) = 180^\circ - 90^\circ + \frac{\alpha}{2} = 90^\circ + \frac{\alpha}{2}$
Ответ: $90^\circ + \frac{\alpha}{2}$

б) биссектрисами внешних углов, прилежащих к стороне против угла α;

Найдем угол, образованный биссектрисами внешних углов при вершинах $B$ и $C$. Пусть эти биссектрисы пересекаются в точке $Q$. Точка $Q$ является центром вневписанной окружности треугольника $ABC$. Внешний угол при вершине $B$ равен $180^\circ - \beta$. Внешний угол при вершине $C$ равен $180^\circ - \gamma$. Рассмотрим треугольник $BQC$. Углы этого треугольника, прилежащие к стороне $BC$, равны половинам соответствующих внешних углов: $\angle QBC = \frac{180^\circ - \beta}{2} = 90^\circ - \frac{\beta}{2}$ $\angle QCB = \frac{180^\circ - \gamma}{2} = 90^\circ - \frac{\gamma}{2}$ Сумма углов в треугольнике $BQC$ равна $180^\circ$: $\angle BQC + \angle QBC + \angle QCB = 180^\circ$ $\angle BQC + \left(90^\circ - \frac{\beta}{2}\right) + \left(90^\circ - \frac{\gamma}{2}\right) = 180^\circ$ $\angle BQC + 180^\circ - \frac{\beta + \gamma}{2} = 180^\circ$ Выразим искомый угол $\angle BQC$: $\angle BQC = \frac{\beta + \gamma}{2}$ Подставим значение $\beta + \gamma = 180^\circ - \alpha$: $\angle BQC = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$
Ответ: $90^\circ - \frac{\alpha}{2}$

в) биссектрисой одного из внутренних углов, прилежащих к стороне против угла α, и биссектрисой внешнего угла при другом конце этой стороны.

Найдем угол, образованный биссектрисой внутреннего угла $\angle B$ и биссектрисой внешнего угла при вершине $C$. Пусть эти биссектрисы пересекаются в точке $E$. Рассмотрим треугольник $BCE$. Сумма его углов равна $180^\circ$: $\angle BEC + \angle CBE + \angle BCE = 180^\circ$ Угол $\angle CBE$ равен половине внутреннего угла $\angle B$: $\angle CBE = \frac{\beta}{2}$ Теперь найдем угол $\angle BCE$. Внешний угол при вершине $C$ — это угол, смежный с внутренним углом $\gamma$. Например, если продлить сторону $BC$ за точку $C$ до точки $D$, то внешний угол — это $\angle ACD$. По теореме о внешнем угле треугольника, $\angle ACD = \angle A + \angle B = \alpha + \beta$. Биссектриса $CE$ делит угол $\angle ACD$ пополам, то есть $\angle ACE = \frac{\alpha+\beta}{2}$. Угол $\angle BCE$ треугольника $BCE$ складывается из внутреннего угла $\angle BCA = \gamma$ и угла $\angle ACE$: $\angle BCE = \angle BCA + \angle ACE = \gamma + \frac{\alpha+\beta}{2}$ Подставим найденные углы в формулу суммы углов треугольника $BCE$: $\angle BEC + \frac{\beta}{2} + \left(\gamma + \frac{\alpha+\beta}{2}\right) = 180^\circ$ Выразим искомый угол $\angle BEC$: $\angle BEC = 180^\circ - \frac{\beta}{2} - \gamma - \frac{\alpha+\beta}{2} = 180^\circ - \gamma - \frac{\alpha+2\beta}{2}$ Теперь воспользуемся тем, что $\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$: $\angle BEC = 180^\circ - (180^\circ - \alpha - \beta) - \frac{\alpha+2\beta}{2} = \alpha + \beta - \frac{\alpha}{2} - \frac{2\beta}{2} = \alpha + \beta - \frac{\alpha}{2} - \beta = \frac{\alpha}{2}$
Ответ: $\frac{\alpha}{2}$