Номер 447, страница 151 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

447. Выразите через радиус $r$ окружности сторону правильного вписанного:

а) треугольника;

б) четырехугольника;

в) шестиугольника;

г) восьмиугольника;

д) пятиугольника.

Для нахождения стороны $a_n$ правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса $r$, используется общая формула. Если соединить центр окружности с двумя соседними вершинами многоугольника, получится равнобедренный треугольник со сторонами $r$, $r$ и $a_n$. Угол между радиусами равен $\alpha = \frac{360^\circ}{n}$. Сторону $a_n$ можно найти, например, по теореме косинусов или разбив этот треугольник высотой на два прямоугольных треугольника. Общая формула для стороны правильного вписанного n-угольника:

$a_n = 2r \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$

Применим эту формулу для каждого из заданных многоугольников.

а) треугольника;

Для правильного треугольника (равностороннего) число сторон $n=3$. Подставляем это значение в общую формулу:

$a_3 = 2r \sin\left(\frac{180^\circ}{3}\right) = 2r \sin(60^\circ)$

Зная, что значение синуса $60^\circ$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$a_3 = 2r \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = r\sqrt{3}$

Ответ: $a_3 = r\sqrt{3}$.

б) четырехугольника;

Для правильного четырехугольника (квадрата) число сторон $n=4$.

$a_4 = 2r \sin\left(\frac{180^\circ}{4}\right) = 2r \sin(45^\circ)$

Так как $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то сторона квадрата равна:

$a_4 = 2r \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = r\sqrt{2}$

Ответ: $a_4 = r\sqrt{2}$.

в) шестиугольника;

Для правильного шестиугольника число сторон $n=6$.

$a_6 = 2r \sin\left(\frac{180^\circ}{6}\right) = 2r \sin(30^\circ)$

Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, то сторона шестиугольника равна:

$a_6 = 2r \cdot \frac{1}{2} = r$

Ответ: $a_6 = r$.

г) восьмиугольника;

Для правильного восьмиугольника число сторон $n=8$.

$a_8 = 2r \sin\left(\frac{180^\circ}{8}\right) = 2r \sin(22.5^\circ)$

Для вычисления значения $\sin(22.5^\circ)$ воспользуемся формулой половинного угла: $\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}$. Полагая $\alpha = 45^\circ$, получаем:

$\sin(22.5^\circ) = \sqrt{\frac{1 - \cos(45^\circ)}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Тогда сторона восьмиугольника равна:

$a_8 = 2r \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} = r\sqrt{2 - \sqrt{2}}$

Ответ: $a_8 = r\sqrt{2 - \sqrt{2}}$.

д) пятиугольника.

Для правильного пятиугольника число сторон $n=5$.

$a_5 = 2r \sin\left(\frac{180^\circ}{5}\right) = 2r \sin(36^\circ)$

Точное значение $\sin(36^\circ)$ является известной величиной: $\sin(36^\circ) = \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4}$.

Подставим это значение в формулу для стороны пятиугольника:

$a_5 = 2r \cdot \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4} = r \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{2}$

Ответ: $a_5 = r \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{2}$.