Номер 442, страница 151 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

442. На отрезке и двух его неравных частях в одной полуплоскости построены полукруги. Учитывая, что радиусы двух меньших полукругов равны $R$ и $r$, найдите радиус круга, касающегося всех трех полукругов.

Для решения задачи введем декартову систему координат. Расположим начало координат $O$ в точке касания двух меньших полукругов. Прямую, содержащую их диаметры, примем за ось абсцисс $Ox$.

Пусть радиусы двух меньших полукругов равны $R$ и $r$. Тогда их центры будут находиться в точках $O_R(R, 0)$ и $O_r(-r, 0)$ соответственно.

Большой полукруг построен на отрезке, который является суммой диаметров двух меньших полукругов, то есть его диаметр равен $2R+2r$. Следовательно, радиус большого полукруга $R_{L} = R+r$. Его центр $O_L$ находится в середине отрезка, соединяющего концы диаметров (точки $-2r$ и $2R$), то есть в точке с координатой $x = \frac{2R + (-2r)}{2} = R-r$. Таким образом, центр большого полукруга $O_L$ имеет координаты $(R-r, 0)$.

Пусть искомый круг, касающийся всех трех полукругов, имеет центр $O_x$ с координатами $(a, b)$ и радиус $\rho$. Наша задача — найти $\rho$.

Условие касания двух окружностей заключается в том, что расстояние между их центрами равно сумме их радиусов (для внешнего касания) или разности их радиусов (для внутреннего касания). Запишем эти условия в виде системы уравнений:

1. Внешнее касание с полукругом радиуса $R$:
Расстояние между $O_x(a, b)$ и $O_R(R, 0)$ равно $\rho+R$.
$(a-R)^2 + b^2 = (\rho+R)^2$

2. Внешнее касание с полукругом радиуса $r$:
Расстояние между $O_x(a, b)$ и $O_r(-r, 0)$ равно $\rho+r$.
$(a-(-r))^2 + b^2 = (\rho+r)^2 \Rightarrow (a+r)^2 + b^2 = (\rho+r)^2$

3. Внутреннее касание с большим полукругом радиуса $R+r$:
Расстояние между $O_x(a, b)$ и $O_L(R-r, 0)$ равно $(R+r)-\rho$.
$(a-(R-r))^2 + b^2 = ((R+r)-\rho)^2$

Раскроем скобки в первых двух уравнениях:

(1) $a^2 - 2aR + R^2 + b^2 = \rho^2 + 2\rho R + R^2 \Rightarrow a^2 + b^2 = \rho^2 + 2\rho R + 2aR$

(2) $a^2 + 2ar + r^2 + b^2 = \rho^2 + 2\rho r + r^2 \Rightarrow a^2 + b^2 = \rho^2 + 2\rho r - 2ar$

Приравняем правые части выражений для $a^2+b^2$:

$\rho^2 + 2\rho R + 2aR = \rho^2 + 2\rho r - 2ar$

$2\rho R - 2\rho r = -2aR - 2ar$

$2\rho(R-r) = -2a(R+r)$

Отсюда выразим координату $a$ через $\rho$:

$a = -\rho \frac{R-r}{R+r} = \rho \frac{r-R}{R+r}$

Теперь подставим $b^2$ из уравнения (1) в уравнение (3):

$b^2 = (\rho+R)^2 - (a-R)^2$

$(a-R+r)^2 + (\rho+R)^2 - (a-R)^2 = (R+r-\rho)^2$

Используем формулу разности квадратов для $(a-R+r)^2 - (a-R)^2$:

$((a-R+r) - (a-R))((a-R+r) + (a-R)) + (\rho+R)^2 = (R+r-\rho)^2$

$r(2a - 2R + r) + (\rho+R)^2 = (R+r-\rho)^2$

Раскроем скобки:

$2ar - 2Rr + r^2 + \rho^2 + 2\rho R + R^2 = (R+r)^2 - 2\rho(R+r) + \rho^2$

$2ar - 2Rr + r^2 + \rho^2 + 2\rho R + R^2 = R^2 + 2Rr + r^2 - 2\rho R - 2\rho r + \rho^2$

Сократим одинаковые слагаемые ($R^2$, $r^2$, $\rho^2$):

$2ar - 2Rr + 2\rho R = 2Rr - 2\rho R - 2\rho r$

Сгруппируем члены, содержащие $\rho$:

$2\rho R + 2\rho R + 2\rho r = 2Rr + 2Rr - 2ar$

$4\rho R + 2\rho r = 4Rr - 2ar$

$2\rho(2R+r) = 2r(2R-a)$

$\rho(2R+r) = r(2R-a)$

Подставим ранее найденное выражение для $a$:

$\rho(2R+r) = r\left(2R - \rho \frac{r-R}{R+r}\right)$

$\rho(2R+r) = 2Rr - \rho \frac{r(r-R)}{R+r}$

$\rho(2R+r) + \rho \frac{r^2-Rr}{R+r} = 2Rr$

$\rho\left(2R+r + \frac{r^2-Rr}{R+r}\right) = 2Rr$

$\rho\left(\frac{(2R+r)(R+r) + r^2-Rr}{R+r}\right) = 2Rr$

$\rho\left(\frac{2R^2 + 2Rr + Rr + r^2 + r^2 - Rr}{R+r}\right) = 2Rr$

$\rho\left(\frac{2R^2 + 2Rr + 2r^2}{R+r}\right) = 2Rr$

$\rho\frac{2(R^2 + Rr + r^2)}{R+r} = 2Rr$

Сократив на 2, получим:

$\rho = \frac{Rr(R+r)}{R^2 + Rr + r^2}$

Ответ: Радиус круга, касающегося всех трех полукругов, равен $\frac{Rr(R+r)}{R^2 + Rr + r^2}$.