Номер 437, страница 150 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

437. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с внутренней точкой противолежащей стороны, разделяет его на два треугольника. Докажите, что эта вершина и центры окружностей, описанных около этих и данного треугольников, лежат на одной окружности.

Рис. 311

Пусть дан треугольник $ABC$. Пусть $D$ — внутренняя точка стороны $BC$. Отрезок $AD$, соединяющий вершину $A$ с точкой $D$, разделяет треугольник $ABC$ на два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$.

Обозначим центры описанных окружностей треугольников $\triangle ABC$, $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$ как $O$, $O_1$ и $O_2$ соответственно.

Нам нужно доказать, что вершина $A$ и центры $O$, $O_1$, $O_2$ лежат на одной окружности. Для этого докажем, что точка $A$ лежит на окружности, описанной около треугольника $OO_1O_2$.

Рассмотрим свойства прямых, соединяющих центры $O$, $O_1$ и $O_2$.

• Точка $O$ является центром описанной окружности $\triangle ABC$, следовательно, она равноудалена от вершин $A$ и $B$. Точка $O_1$ является центром описанной окружности $\triangle ABD$, следовательно, она также равноудалена от $A$ и $B$. Множество точек, равноудаленных от двух данных точек, есть серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки. Таким образом, прямая $OO_1$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$.
• Аналогично, точки $O$ и $O_2$ равноудалены от $A$ и $C$ (как центры окружностей, проходящих через $A$ и $C$). Следовательно, прямая $OO_2$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AC$.
• Точно так же, точки $O_1$ и $O_2$ равноудалены от $A$ и $D$ (как центры окружностей, проходящих через $A$ и $D$). Следовательно, прямая $O_1O_2$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AD$.

Теперь рассмотрим отражения точки $A$ относительно сторон треугольника $OO_1O_2$.

• Поскольку прямая $OO_1$ является серединным перпендикуляром к $AB$, отражение точки $A$ относительно прямой $OO_1$ есть точка $B$.
• Поскольку прямая $OO_2$ является серединным перпендикуляром к $AC$, отражение точки $A$ относительно прямой $OO_2$ есть точка $C$.
• Поскольку прямая $O_1O_2$ является серединным перпендикуляром к $AD$, отражение точки $A$ относительно прямой $O_1O_2$ есть точка $D$.

Таким образом, отражениями точки $A$ относительно сторон треугольника $OO_1O_2$ являются точки $B$, $C$ и $D$.

По условию задачи, точка $D$ является внутренней точкой стороны $BC$, а это значит, что точки $B$, $C$ и $D$ лежат на одной прямой.

Существует известная теорема (теорема Штейнера), которая является следствием и обобщением теоремы о прямой Симсона: геометрическое место точек $P$, чьи ортогональные проекции на стороны треугольника коллинеарны, есть описанная окружность этого треугольника. Эквивалентное утверждение гласит, что отражения точки $P$ относительно сторон треугольника коллинеарны тогда и только тогда, когда точка $P$ лежит на описанной окружности этого треугольника.

Поскольку отражения точки $A$ (точки $B, C, D$) относительно сторон треугольника $OO_1O_2$ коллинеарны, точка $A$ лежит на описанной окружности треугольника $OO_1O_2$.

Следовательно, четыре точки $A$, $O$, $O_1$ и $O_2$ лежат на одной окружности, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.