Номер 431, страница 149 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

Рис. 308

431. Углы, прилежащие к одной стороне вписанного в окружность треугольника, равны $\alpha$ и $\beta$. Найдите угол между этой стороной и касательной окружности, проведенной через противолежащую вершину.

Пусть дан треугольник $ABC$, вписанный в окружность. По условию, углы, прилежащие к одной из его сторон, равны $\alpha$ и $\beta$. Пусть этой стороной будет $BC$, тогда $\angle ABC = \alpha$ и $\angle ACB = \beta$. Пусть $k$ — это касательная к окружности, проведенная через вершину $A$, которая противолежит стороне $BC$. Нам нужно найти угол между прямой, содержащей сторону $BC$, и касательной $k$.

Для нахождения искомого угла проведем через вершину $A$ вспомогательную прямую $m$, параллельную стороне $BC$ ($m \parallel BC$). Угол между прямой $BC$ и касательной $k$ будет равен углу между прямой $m$ и касательной $k$, так как $m$ и $BC$ параллельны. Обозначим этот угол через $\phi$.

Теперь воспользуемся теоремой об угле между касательной и хордой. Угол между касательной $k$ и хордой $AC$ (проведенными через точку касания $A$) равен вписанному углу, который опирается на дугу $AC$. Этим углом является $\angle ABC$. Следовательно, угол между касательной $k$ и хордой $AC$ равен $\alpha$.

Поскольку прямая $m$ параллельна $BC$, накрест лежащие углы при секущей $AC$ равны. Значит, угол между прямой $m$ и хордой $AC$ равен $\angle ACB = \beta$.

Искомый угол $\phi$ между касательной $k$ и прямой $m$ (а следовательно, и между $k$ и $BC$) можно найти как модуль разности углов, которые эти прямые образуют с их общей секущей $AC$:
$\phi = |(\text{угол между } k \text{ и } AC) - (\text{угол между } m \text{ и } AC)|$
$\phi = |\alpha - \beta|$

Проверка с использованием хорды $AB$ дает тот же результат:
Угол между касательной $k$ и хордой $AB$ равен $\angle ACB = \beta$ (по теореме об угле между касательной и хордой).
Угол между прямой $m$ ($m \parallel BC$) и хордой $AB$ равен $\angle ABC = \alpha$ (как накрест лежащие углы).
Следовательно, искомый угол $\phi$ также равен $|\alpha - \beta|$.

Ответ: $|\alpha - \beta|$.