Номер 428, страница 148 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

428. В окружность вписан треугольник $ABC$, у которого $AB=2\sqrt{3}$. Найдите угол $C$, учитывая, что центр окружности находится вне треугольника на расстоянии 1 от стороны $AB$.

Пусть O — центр описанной окружности, а R — её радиус. Расстояние от центра окружности до хорды AB — это длина перпендикуляра OH, опущенного из точки O на сторону AB. По условию, $OH = 1$.

Так как треугольник AOB равнобедренный ($OA = OB = R$), высота OH является также медианой. Следовательно, H — середина стороны AB. $AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOH. По теореме Пифагора: $R^2 = OA^2 = AH^2 + OH^2$ Подставим известные значения: $R^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$ Отсюда радиус окружности $R = \sqrt{4} = 2$.

По обобщенной теореме синусов для треугольника ABC: $\frac{AB}{\sin C} = 2R$ Подставим известные значения: $\frac{2\sqrt{3}}{\sin C} = 2 \cdot 2$ $\frac{2\sqrt{3}}{\sin C} = 4$

Выразим $\sin C$: $\sin C = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Для угла C в треугольнике ($0^\circ < C < 180^\circ$) это уравнение имеет два решения: $C = 60^\circ$ или $C = 120^\circ$.

По условию, центр окружности O находится вне треугольника ABC. Это означает, что треугольник ABC является тупоугольным. Когда центр описанной окружности и вершина (в данном случае C) лежат по разные стороны от общей хорды (в данном случае AB), соответствующий этой вершине угол является тупым. Следовательно, угол C должен быть тупым.

Выбираем из двух возможных решений тупой угол: $\angle C = 120^\circ$.

Это можно проверить, вычислив центральный угол $\angle AOB$. В прямоугольном треугольнике AOH катет $OH=1$ и гипотенуза $OA=R=2$. Таким образом, $\cos(\angle AOH) = \frac{OH}{OA} = \frac{1}{2}$, откуда $\angle AOH = 60^\circ$. Так как OH — биссектриса, то $\angle AOB = 2 \cdot \angle AOH = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$. Поскольку вершина C и центр O находятся по разные стороны от AB, угол C опирается на большую дугу AB, градусная мера которой равна $360^\circ - 120^\circ = 240^\circ$. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается: $\angle C = \frac{1}{2} \cdot 240^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.