Номер 423, страница 148 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

423. Найдите расстояние между точками касания внешней касательной двух касающихся окружностей с радиусами $r$ и $R$.

Задача допускает два толкования в зависимости от того, как именно касаются окружности: внешним или внутренним образом. Рассмотрим оба случая.

Пусть две окружности с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ и радиусами $r$ и $R$ соответственно касаются друг друга внешним образом. В этом случае расстояние между их центрами равно сумме радиусов: $O_1O_2 = r + R$.

Пусть $l$ — их общая внешняя касательная. Обозначим точки касания этой прямой с окружностями как $A$ (на окружности с радиусом $r$) и $B$ (на окружности с радиусом $R$). Нам необходимо найти длину отрезка $AB$.

Проведем радиусы $O_1A$ и $O_2B$ к точкам касания. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, $O_1A \perp AB$ и $O_2B \perp AB$.

Поскольку отрезки $O_1A$ и $O_2B$ перпендикулярны одной и той же прямой $AB$, они параллельны друг другу: $O_1A \parallel O_2B$. Следовательно, четырехугольник $ABO_2O_1$ является прямоугольной трапецией с основаниями $O_1A = r$ и $O_2B = R$ и высотой $AB$.

Для нахождения высоты трапеции $AB$ проведем из центра меньшей окружности $O_1$ (предположим, что $R \ge r$) прямую, параллельную $AB$, до пересечения с радиусом $O_2B$ в точке $C$.

Полученный четырехугольник $ABCO_1$ является прямоугольником, так как все его углы прямые. Отсюда следует, что $AB = O_1C$ и $BC = O_1A = r$.

Рассмотрим треугольник $O_1CO_2$. Он является прямоугольным, так как $O_1C \parallel AB$ и $AB \perp O_2B$, что означает $O_1C \perp O_2C$. Гипотенуза этого треугольника — отрезок $O_1O_2$ длиной $r + R$. Один катет, $O_1C$, равен по длине искомому отрезку $AB$. Длина второго катета, $O_2C$, равна разности $O_2B - CB = R - r$.

Применим теорему Пифагора к треугольнику $O_1CO_2$: $$(O_1O_2)^2 = (O_1C)^2 + (O_2C)^2$$ Подставим известные значения: $$(r + R)^2 = AB^2 + (R - r)^2$$ Выразим $AB^2$: $$AB^2 = (R + r)^2 - (R - r)^2$$ Используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, получаем: $$AB^2 = ((R + r) - (R - r)) \cdot ((R + r) + (R - r))$$ $$AB^2 = (R + r - R + r) \cdot (R + r + R - r)$$ $$AB^2 = (2r) \cdot (2R) = 4Rr$$ Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения: $$AB = \sqrt{4Rr} = 2\sqrt{Rr}$$

Ответ: $2\sqrt{Rr}$.

Пусть две окружности с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ и радиусами $r$ и $R$ (причем $R > r$) касаются друг друга внутренним образом. В этом случае расстояние между их центрами равно разности радиусов: $O_1O_2 = R - r$.

Две окружности, касающиеся внутренним образом, имеют только одну общую касательную. Эта касательная проходит через их общую точку касания.

Пусть $P$ — точка касания двух окружностей. Тогда общая касательная $l$ касается обеих окружностей в этой самой точке $P$.

Следовательно, точка касания $A$ на первой окружности и точка касания $B$ на второй окружности совпадают: $A = B = P$. Расстояние между ними равно нулю.

Ответ: $0$.

Примечание: Учитывая, что в условии задачи говорится о "точках касания" во множественном числе, наиболее вероятным является первый случай (внешнее касание), где точки касания на разных окружностях различны и расстояние между ними нетривиально.