Номер 426, страница 148 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

426. Определите, сколько одинаковых кругов можно расположить вокруг круга такого же радиуса так, чтобы каждый из них касался этого круга и двух соседних.

Для решения этой задачи рассмотрим геометрическое расположение центров кругов. Пусть $R$ — радиус всех кругов (и центрального, и окружающих). Обозначим центр центрального круга как $O$.

Поскольку каждый из окружающих кругов касается центрального, расстояние от центра $O$ до центра любого окружающего круга $O_i$ равно сумме их радиусов: $d_1 = R + R = 2R$. Это означает, что центры всех окружающих кругов лежат на одной окружности с центром в точке $O$ и радиусом $2R$.

Далее, по условию, каждый окружающий круг касается двух соседних. Возьмем два соседних круга с центрами $O_i$ и $O_{i+1}$. Так как они касаются друг друга, расстояние между их центрами также равно сумме радиусов: $d_2 = R + R = 2R$.

Теперь рассмотрим треугольник $ΔOO_iO_{i+1}$, образованный центром центрального круга $O$ и центрами двух соседних окружающих кругов $O_i$ и $O_{i+1}$. Мы установили, что длины его сторон равны: $|OO_i| = 2R$, $|OO_{i+1}| = 2R$ и $|O_iO_{i+1}| = 2R$.

Следовательно, треугольник $ΔOO_iO_{i+1}$ является равносторонним, так как все его стороны равны.

Все углы в равностороннем треугольнике равны $60°$. В частности, угол при вершине $O$, то есть $∠O_iOO_{i+1}$, равен $60°$. Этот угол является центральным углом, под которым из центра $O$ видны центры двух соседних окружающих кругов.

Чтобы найти общее количество кругов $n$, которые можно разместить вокруг центрального, нужно сложить все такие центральные углы. Сумма этих углов должна составить полный круг, то есть $360°$. Таким образом, количество кругов $n$ можно найти, разделив $360°$ на величину одного такого угла: $n = \frac{360°}{60°} = 6$.

Следовательно, вокруг центрального круга можно расположить ровно 6 одинаковых кругов, удовлетворяющих заданным условиям.

Ответ: 6.