Номер 430, страница 149 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

430. Через точку $Q$ пересечения внешних касательных окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$ проведена их секущая (рис. 308). Докажите, что для любой такой секущей произведение $QA_1 \cdot QA_2$ есть постоянная величина.

Рис. 308

Доказательство:

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$, а $r_1$ и $r_2$ — их радиусы соответственно. Точка $Q$ является точкой пересечения внешних касательных к этим окружностям. По своему определению, такая точка является центром гомотетии (центром подобия), которая переводит одну окружность в другую.

Рассмотрим гомотетию $H$ с центром в точке $Q$, которая переводит окружность $\omega_1$ в окружность $\omega_2$. Коэффициент этой гомотетии $k$ равен отношению радиусов: $k = \frac{r_2}{r_1}$. Так как это внешние касательные, $k > 0$. Будем считать, что $r_2 > r_1$, как на рисунке, тогда $k > 1$.

Проведем через точку $Q$ произвольную секущую. Пусть она пересекает окружность $\omega_1$ в точках $P_1$ и $P'_1$, где $P_1$ — точка, ближайшая к $Q$, а $P'_1$ — дальняя. Аналогично, пусть эта же секущая пересекает окружность $\omega_2$ в точках $P_2$ и $P'_2$, где $P_2$ — ближайшая к $Q$ точка, а $P'_2$ — дальняя.

Поскольку гомотетия $H$ переводит окружность $\omega_1$ в $\omega_2$, а прямую (нашу секущую), проходящую через центр гомотетии, в себя, то она должна переводить множество точек пересечения секущей с $\omega_1$ (то есть $\{P_1, P'_1\}$) во множество точек пересечения с $\omega_2$ (то есть $\{P_2, P'_2\}$).

Гомотетия с центром $Q$ и коэффициентом $k>1$ отображает любую точку $X$ в точку $Y$ так, что $QY = k \cdot QX$. Это означает, что точка $Y$ находится дальше от центра $Q$, чем точка $X$. Следовательно, гомотетия переводит ближнюю точку пересечения с $\omega_1$ в ближнюю точку пересечения с $\omega_2$, а дальнюю — в дальнюю. Таким образом: $H(P_1) = P_2$ и $H(P'_1) = P'_2$.

Из определения гомотетии следуют соотношения для расстояний от центра $Q$: $QP_2 = k \cdot QP_1$
$QP'_2 = k \cdot QP'_1$

Теперь сопоставим обозначения с рисунком в условии задачи. Точка $A_1$ на рисунке — это ближайшая к $Q$ точка пересечения с окружностью $\omega_1$, то есть $A_1 = P_1$. Точка $A_2$ на рисунке — это дальняя от $Q$ точка пересечения с окружностью $\omega_2$, то есть $A_2 = P'_2$.

Нам нужно доказать, что произведение $QA_1 \cdot QA_2$ является постоянной величиной. В наших обозначениях это произведение $QP_1 \cdot QP'_2$.

Используем выведенное выше соотношение $QP'_2 = k \cdot QP'_1$: $QA_1 \cdot QA_2 = QP_1 \cdot QP'_2 = QP_1 \cdot (k \cdot QP'_1) = k \cdot (QP_1 \cdot QP'_1)$.

Произведение $QP_1 \cdot QP'_1$ представляет собой степень точки $Q$ относительно окружности $\omega_1$. Согласно теореме о касательной и секущей, степень точки равна квадрату длины отрезка касательной, проведенной из этой точки к окружности. Пусть $T_1$ — точка касания одной из общих внешних касательных с окружностью $\omega_1$. Тогда: $QP_1 \cdot QP'_1 = (QT_1)^2$.

Длина отрезка $QT_1$ не зависит от выбора секущей, а определяется только положением точки $Q$ и окружности $\omega_1$, которые по условию задачи фиксированы. Следовательно, величина $(QT_1)^2$ является постоянной.

Таким образом, искомое произведение равно: $QA_1 \cdot QA_2 = k \cdot (QT_1)^2 = \frac{r_2}{r_1} \cdot (QT_1)^2$.

Поскольку радиусы $r_1$, $r_2$ и длина отрезка касательной $QT_1$ — это постоянные величины для данной конфигурации окружностей, то и их произведение является постоянной величиной, не зависящей от выбора секущей.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Произведение $QA_1 \cdot QA_2$ является константой, равной произведению коэффициента гомотетии $k = r_2/r_1$ на квадрат длины касательной, проведенной из точки $Q$ к окружности $\omega_1$.