Номер 438, страница 150 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

438. Докажите, что расстояние от центра окружности, описанной около треугольника, до стороны треугольника в два раза меньше расстояния от ортоцентра до противолежащей вершины.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Пусть $O$ — центр его описанной окружности, а $H$ — его ортоцентр (точка пересечения высот). Нам нужно доказать, что расстояние от центра $O$ до любой стороны треугольника, например, до стороны $BC$, в два раза меньше расстояния от ортоцентра $H$ до противолежащей вершины $A$.

Пусть $M$ — середина стороны $BC$. Поскольку $O$ — центр описанной окружности, отрезок $OM$ является перпендикуляром к хорде $BC$. Следовательно, длина $OM$ — это и есть расстояние от центра окружности до стороны $BC$.

Пусть $AH$ — отрезок, соединяющий вершину $A$ с ортоцентром $H$. Его длина $AH$ — это расстояние от ортоцентра до вершины $A$. Нам нужно доказать, что $OM = \frac{1}{2}AH$.

Доказательство:

1. Проведём через вершину $B$ диаметр описанной окружности $BD$. Точка $D$ лежит на описанной окружности.

2. Рассмотрим отрезки $DC$ и $AH$. Высота из вершины $A$ (частью которой является $AH$) перпендикулярна стороне $BC$, то есть $AH \perp BC$. Угол $\angle BCD$ является вписанным и опирается на диаметр $BD$, следовательно, $\angle BCD = 90^\circ$, что означает $DC \perp BC$. Так как прямые $AH$ и $DC$ перпендикулярны одной и той же прямой $BC$, они параллельны: $AH \parallel DC$.

3. Теперь рассмотрим отрезки $DA$ и $CH$. Высота из вершины $C$ (частью которой является $CH$) перпендикулярна стороне $AB$, то есть $CH \perp AB$. Угол $\angle BAD$ является вписанным и опирается на диаметр $BD$, следовательно, $\angle BAD = 90^\circ$, что означает $DA \perp AB$. Так как прямые $CH$ и $DA$ перпендикулярны одной и той же прямой $AB$, они параллельны: $CH \parallel DA$.

4. Мы получили, что в четырехугольнике $ADCH$ противолежащие стороны попарно параллельны ($AH \parallel DC$ и $CH \parallel DA$). Следовательно, $ADCH$ — параллелограмм. По свойству параллелограмма, его противолежащие стороны равны, значит $AH = DC$.

5. Рассмотрим треугольник $\triangle BDC$. Точка $O$ является центром описанной окружности и серединой диаметра $BD$. Точка $M$ по построению является серединой стороны $BC$. Таким образом, отрезок $OM$ соединяет середины двух сторон треугольника $\triangle BDC$.

6. По теореме о средней линии треугольника, отрезок $OM$ является средней линией $\triangle BDC$, и его длина равна половине длины третьей стороны $DC$: $OM = \frac{1}{2}DC$.

7. Так как из пункта 4 мы знаем, что $AH = DC$, мы можем подставить $AH$ в формулу из пункта 6: $OM = \frac{1}{2}AH$.

Это утверждение справедливо для любой стороны треугольника и противолежащей ей вершины. Что и требовалось доказать.

Ответ: Расстояние от центра описанной окружности до стороны треугольника равно половине расстояния от ортоцентра до противолежащей вершины, что и было доказано.