Номер 445, страница 151 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

445. Найдите радиус каждого из:

a) трех равных кругов, вписанных в круг с радиусом $R$ и касающихся друг друга (рис. 314);

б) четырех равных кругов, каждый из которых касается круга с радиусом $R$ и двух из этих равных кругов (рис. 315).

Рис. 314

Рис. 315

а)

Пусть $r$ — искомый радиус каждого из трех равных кругов, а $R$ — радиус большого круга, в который они вписаны. Центры трех малых кругов, касающихся друг друга, образуют равносторонний треугольник со стороной $a=2r$. Обозначим центры малых кругов как $O_1, O_2, O_3$.

В силу симметрии, центр большого круга $O$ совпадает с центром (центроидом) этого равностороннего треугольника.

Расстояние от центра равностороннего треугольника до одной из его вершин равно радиусу описанной около этого треугольника окружности. Для треугольника со стороной $a = 2r$ это расстояние $d$ равно:
$d = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2r}{\sqrt{3}}$

Радиус большого круга $R$ складывается из расстояния от его центра $O$ до центра одного из малых кругов (это расстояние $d$) и радиуса этого малого круга $r$.
Таким образом, получаем уравнение:
$R = d + r = \frac{2r}{\sqrt{3}} + r$

Выразим $r$ из этого уравнения:
$R = r \left( \frac{2}{\sqrt{3}} + 1 \right) = r \left( \frac{2 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}} \right)$
$r = R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$

Чтобы упростить выражение, избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2 - \sqrt{3})$:
$r = R \cdot \frac{\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = R \cdot \frac{2\sqrt{3} - 3}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = R \cdot \frac{2\sqrt{3} - 3}{4 - 3} = R(2\sqrt{3} - 3)$

Ответ: $R(2\sqrt{3} - 3)$.

б)

Пусть $r$ — искомый радиус каждого из четырех равных кругов, а $R$ — радиус центрального круга (согласно рис. 315). Центры четырех равных кругов $O_1, O_2, O_3, O_4$ образуют квадрат, так как они равноудалены от центрального круга и касаются попарно.

Сторона этого квадрата равна расстоянию между центрами двух соседних касающихся кругов, то есть $a = r + r = 2r$.

Центр центрального круга $O$ совпадает с центром этого квадрата. Расстояние от центра квадрата до одной из его вершин (например, $O_1$) равно половине диагонали квадрата. Диагональ квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$.
Расстояние $OO_1$ равно:
$OO_1 = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{2r\sqrt{2}}{2} = r\sqrt{2}$

С другой стороны, так как центральный круг и внешний круг $O_1$ касаются, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов:
$OO_1 = R + r$

Приравняем два полученных выражения для расстояния $OO_1$:
$r\sqrt{2} = R + r$

Выразим $r$ из этого уравнения:
$r\sqrt{2} - r = R$
$r(\sqrt{2} - 1) = R$
$r = \frac{R}{\sqrt{2} - 1}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{2} + 1)$:
$r = \frac{R(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{R(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{R(\sqrt{2} + 1)}{2 - 1} = R(\sqrt{2} + 1)$

Ответ: $R(\sqrt{2} + 1)$.