Номер 439, страница 150 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

439. Докажите, что прямая, параллельная касательной в вершине вписанного треугольника и пересекающая стороны, выходящие из этой вершины, отсекает от треугольника такой четырехугольник, около которого можно описать окружность.

Пусть дан треугольник $ABC$, вписанный в окружность. Проведем касательную к этой окружности в вершине $A$. Пусть прямая, параллельная этой касательной, пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Таким образом, от треугольника $ABC$ отсекается четырехугольник $BCNM$. Докажем, что этот четырехугольник является вписанным в окружность.

Для доказательства того, что четырехугольник можно вписать в окружность, достаточно показать, что сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. Докажем, что $\angle BMN + \angle BCN = 180^\circ$.

1. По теореме об угле между касательной и хордой, угол, образованный касательной, проведенной через вершину $A$, и хордой $AB$, равен вписанному углу, опирающемуся на дугу $AB$. Этим углом является $\angle ACB$.

2. По условию, прямая $MN$ параллельна касательной в точке $A$. Прямая $AB$ является секущей для этих двух параллельных прямых. Следовательно, соответственные углы, образованные при пересечении параллельных прямых секущей, равны. Это означает, что угол $\angle AMN$ равен углу между касательной и хордой $AB$.

3. Объединяя результаты из пунктов 1 и 2, получаем равенство: $\angle AMN = \angle ACB$.

4. Углы $\angle BMN$ и $\angle AMN$ являются смежными, поскольку точки $A, M, B$ лежат на одной прямой. Следовательно, их сумма составляет $180^\circ$: $ \angle BMN + \angle AMN = 180^\circ $

5. Заменим в последнем равенстве угол $\angle AMN$ на равный ему угол $\angle ACB$ (из пункта 3): $ \angle BMN + \angle ACB = 180^\circ $

В четырехугольнике $BCNM$ углы $\angle BMN$ и $\angle BCN$ (который совпадает с углом $\angle ACB$) являются противолежащими. Мы показали, что их сумма равна $180^\circ$. Это является достаточным условием для того, чтобы четырехугольник был вписанным в окружность. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.