Номер 412, страница 146 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

412. На сторонах угла A величиной 75° выбраны такие точки K и L, что $AK = \sqrt{2}$ и $AL = \sqrt{3}$, а на луче, который выходит из точки A и проходит внутри угла под углом в 45° к лучу $AL$, такая точка M, что $AM = \sqrt{\frac{3}{2}}$. Докажите, что точки K, L, M лежат на одной прямой.

Для доказательства того, что точки K, M, и L лежат на одной прямой, мы покажем, что угол $\angle KML$ является развернутым, то есть равен $180^\circ$. Для этого найдем углы, составляющие этот угол: $\angle AMK$ и $\angle AML$.

Из условия задачи мы знаем, что $\angle KAL = 75^\circ$ и луч AM проходит внутри этого угла под углом $\angle MAL = 45^\circ$ к лучу AL. Следовательно, угол между лучами AK и AM составляет $\angle KAM = \angle KAL - \angle MAL = 75^\circ - 45^\circ = 30^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AML$. Нам известны длины двух сторон $AL = \sqrt{3}$ и $AM = \sqrt{\frac{3}{2}}$, а также угол между ними $\angle MAL = 45^\circ$. Применим теорему косинусов, чтобы найти длину стороны LM:

$LM^2 = AL^2 + AM^2 - 2 \cdot AL \cdot AM \cdot \cos(\angle MAL)$

$LM^2 = (\sqrt{3})^2 + \left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{\frac{3}{2}} \cdot \cos(45^\circ)$

$LM^2 = 3 + \frac{3}{2} - 2 \cdot \sqrt{\frac{9}{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{9}{2} - 2 \cdot \frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{9}{2} - 3 = \frac{3}{2}$

Отсюда получаем, что $LM = \sqrt{\frac{3}{2}}$. Мы видим, что $AM = LM$, следовательно, треугольник $\triangle AML$ является равнобедренным. Углы при его основании AL равны, то есть $\angle MLA = \angle MAL = 45^\circ$. Тогда третий угол треугольника, $\angle AML$, равен $180^\circ - (45^\circ + 45^\circ) = 90^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle AKM$. Нам известны длины сторон $AK = \sqrt{2}$ и $AM = \sqrt{\frac{3}{2}}$, а также угол между ними $\angle KAM = 30^\circ$. Снова применим теорему косинусов, на этот раз для нахождения длины стороны KM:

$KM^2 = AK^2 + AM^2 - 2 \cdot AK \cdot AM \cdot \cos(\angle KAM)$

$KM^2 = (\sqrt{2})^2 + \left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{3}{2}} \cdot \cos(30^\circ)$

$KM^2 = 2 + \frac{3}{2} - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{7}{2} - 3 = \frac{1}{2}$

Отсюда $KM = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Теперь, зная все три стороны треугольника $\triangle AKM$, мы можем найти угол $\angle AMK$ с помощью теоремы синусов:

$\frac{AK}{\sin(\angle AMK)} = \frac{KM}{\sin(\angle KAM)}$

$\sin(\angle AMK) = \frac{AK \cdot \sin(\angle KAM)}{KM} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sin(30^\circ)}{1/\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}}{1/\sqrt{2}} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

Поскольку $\angle AMK$ — это угол в треугольнике, его значение должно быть $90^\circ$.

Точки K, M и L лежат на одной прямой, если образуемый ими угол $\angle KML$ равен $180^\circ$. Так как луч AM проходит внутри угла $\angle KAL$, то угол $\angle KML$ является суммой углов $\angle AMK$ и $\angle AML$.

$\angle KML = \angle AMK + \angle AML = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.

Так как угол $\angle KML$ является развернутым, точки K, M и L лежат на одной прямой.

Ответ: Что и требовалось доказать.