Номер 401, страница 145 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

401. Найдите:

а) границы, между которыми заключена сумма медиан треугольника, учитывая, что его стороны равны $a$, $b$, $c$;

б) точку, сумма расстояний от которой до вершин данного четырех-угольника наименьшая.

а) Пусть дан треугольник со сторонами $a$, $b$, $c$. Обозначим медианы, проведенные к этим сторонам, как $m_a$, $m_b$, $m_c$ соответственно. Нам нужно найти границы для суммы длин медиан $S = m_a + m_b + m_c$.

Верхняя граница: Рассмотрим медиану $m_a$, проведенную из вершины $A$ к стороне $BC$. Достроим треугольник $ABC$ до параллелограмма $ABDC$, продолжив медиану $AM_a$ ($M_a$ - середина $BC$) за точку $M_a$ на ее длину до точки $D$. В полученном параллелограмме $ABDC$ диагональ $AD$ равна $2m_a$, а сторона $BD$ равна стороне $AC=b$. Применим неравенство треугольника к треугольнику $ABD$ со сторонами $AB=c$, $BD=b$ и $AD=2m_a$:
$AB + BD > AD \implies c+b > 2m_a \implies m_a < \frac{b+c}{2}$.
Аналогичные неравенства можно записать для двух других медиан:
$m_b < \frac{a+c}{2}$
$m_c < \frac{a+b}{2}$
Сложив эти три неравенства, получим верхнюю границу для суммы медиан:
$m_a + m_b + m_c < \frac{b+c}{2} + \frac{a+c}{2} + \frac{a+b}{2}$
$m_a + m_b + m_c < \frac{2a+2b+2c}{2}$
$m_a + m_b + m_c < a+b+c$.
Таким образом, сумма длин медиан треугольника всегда меньше его периметра $P = a+b+c$.

Нижняя граница: Воспользуемся свойством точки пересечения медиан (центроида). Пусть $O$ — центроид треугольника. Он делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Таким образом, отрезки, соединяющие центроид с вершинами, равны $\frac{2}{3}m_a$, $\frac{2}{3}m_b$, $\frac{2}{3}m_c$. Рассмотрим треугольник $OBC$. Его стороны: $OB = \frac{2}{3}m_b$, $OC = \frac{2}{3}m_c$ и $BC = a$. По неравенству треугольника для $\triangle OBC$:
$OB+OC > BC \implies \frac{2}{3}m_b + \frac{2}{3}m_c > a \implies m_b+m_c > \frac{3}{2}a$.
Аналогично для треугольников $OAC$ и $OAB$:
$m_a+m_c > \frac{3}{2}b$
$m_a+m_b > \frac{3}{2}c$
Сложив эти три неравенства, получим:
$(m_b+m_c) + (m_a+m_c) + (m_a+m_b) > \frac{3}{2}(a+b+c)$
$2(m_a+m_b+m_c) > \frac{3}{2}(a+b+c)$
$m_a+m_b+m_c > \frac{3}{4}(a+b+c)$.
Таким образом, сумма длин медиан всегда больше, чем три четверти периметра.

Объединяя оба результата, получаем искомые границы для суммы медиан:
$\frac{3}{4}(a+b+c) < m_a+m_b+m_c < a+b+c$.

Ответ: Сумма медиан треугольника $S$ заключена в границах $\frac{3}{4}P < S < P$, где $P=a+b+c$ — периметр треугольника.

б) Пусть дан четырехугольник $ABCD$. Необходимо найти точку $P$, для которой сумма расстояний до вершин $S(P) = PA+PB+PC+PD$ является наименьшей. Эта задача известна как точка Ферма для четырёхугольника или геометрическая медиана. Решение зависит от того, является ли четырехугольник выпуклым или невыпуклым.

1. Выпуклый четырехугольник.
Сгруппируем слагаемые в сумме: $S(P) = (PA+PC) + (PB+PD)$.
Рассмотрим сумму $PA+PC$. По неравенству треугольника, примененному к треугольнику $PAC$, имеем $PA+PC \ge AC$. Равенство достигается тогда и только тогда, когда точка $P$ лежит на отрезке, соединяющем вершины $A$ и $C$.
Аналогично, для треугольника $PBD$ имеем $PB+PD \ge BD$. Равенство достигается, когда точка $P$ лежит на отрезке $BD$.
Складывая эти неравенства, получаем, что $S(P) = (PA+PC) + (PB+PD) \ge AC+BD$.
Таким образом, наименьшее возможное значение суммы расстояний равно сумме длин диагоналей четырехугольника. Это значение достигается только в том случае, когда точка $P$ одновременно принадлежит отрезку $AC$ и отрезку $BD$. В выпуклом четырехугольнике существует единственная такая точка — это точка пересечения его диагоналей.

2. Невыпуклый (вогнутый) четырехугольник.
В невыпуклом четырехугольнике одна из вершин (назовем ее "внутренней") находится внутри треугольника, образованного тремя другими вершинами. Пусть, например, вершина $D$ лежит внутри треугольника $ABC$. В этом случае можно доказать, что искомой точкой, минимизирующей сумму расстояний до всех четырех вершин, является сама внутренняя вершина, то есть точка $D$. Сумма расстояний в этом случае равна $DA+DB+DC$.

Ответ: Искомая точка — это точка пересечения диагоналей для выпуклого четырехугольника; для невыпуклого четырехугольника — это та его вершина, которая лежит внутри треугольника, образованного тремя другими вершинами.