Номер 394, страница 144 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

394. Докажите, что окружности, описанные около треугольников:

а) $ACK$ и $BCK$, где $K$ — точка основания $AB$ равнобедренного треугольника $ABC$, равны друг другу;

б) $ABC$ и $ABH$, где $H$ — точка пересечения высот непрямоугольного треугольника $ABC$, симметричны относительно прямой $AB$.

а) Докажите, что окружности, описанные около треугольников ACK и BCK, где K — точка основания AB равнобедренного треугольника ABC, равны друг другу;

Рассмотрим треугольники $ACK$ и $BCK$ и их описанные окружности. Пусть $R_{ACK}$ и $R_{BCK}$ — радиусы описанных окружностей треугольников $ACK$ и $BCK$ соответственно.

Согласно следствию из теоремы синусов, радиус описанной окружности треугольника можно вычислить по формуле $R = \frac{a}{2\sin\alpha}$, где $a$ — сторона треугольника, а $\alpha$ — противолежащий ей угол.

Применим эту формулу для стороны $CK$, которая является общей для обоих треугольников:

• Для треугольника $ACK$: $R_{ACK} = \frac{CK}{2\sin(\angle CAK)}$
• Для треугольника $BCK$: $R_{BCK} = \frac{CK}{2\sin(\angle CBK)}$

По условию, треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AB$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle CAB = \angle CBA$.

Поскольку точка $K$ лежит на основании $AB$, то $\angle CAK$ совпадает с $\angle CAB$, а $\angle CBK$ совпадает с $\angle CBA$. Таким образом, $\angle CAK = \angle CBK$. Отсюда следует, что и их синусы равны: $\sin(\angle CAK) = \sin(\angle CBK)$.

Сравнивая формулы для радиусов, мы видим, что у них равны числители (общая сторона $CK$) и равны знаменатели ($2\sin(\angle CAK) = 2\sin(\angle CBK)$).

Следовательно, радиусы окружностей равны: $R_{ACK} = R_{BCK}$. Так как радиусы окружностей равны, то и сами окружности равны друг другу, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что окружности, описанные около треугольников $ACK$ и $BCK$, равны друг другу.

б) Докажите, что окружности, описанные около треугольников ABC и ABH, где H — точка пересечения высот непрямоугольного треугольника ABC, симметричны относительно прямой AB.

Пусть $\omega_{ABC}$ — окружность, описанная около треугольника $ABC$, и $\omega_{ABH}$ — окружность, описанная около треугольника $ABH$. Нам нужно доказать, что эти окружности симметричны относительно прямой $AB$.

Две фигуры симметричны относительно прямой, если одна из них является зеркальным отражением другой относительно этой прямой. Мы докажем, что отражение окружности $\omega_{ABC}$ относительно прямой $AB$ совпадает с окружностью $\omega_{ABH}$.

Для доказательства воспользуемся известным свойством ортоцентра: точка, симметричная ортоцентру треугольника относительно одной из его сторон, лежит на описанной окружности этого треугольника. Докажем это свойство.

Пусть $H'$ — точка, симметричная ортоцентру $H$ относительно прямой $AB$. Требуется доказать, что точка $H'$ лежит на описанной окружности $\omega_{ABC}$ треугольника $ABC$. Это равносильно тому, что четырехугольник $ABCH'$ (или $ACBH'$) является вписанным в окружность.

Для того чтобы четырехугольник был вписанным, сумма его противоположных углов должна быть равна $180^\circ$. Предположим, что точки $C$ и $H'$ лежат по разные стороны от прямой $AB$ (это так, если $C$ и $H$ лежат по одну сторону от $AB$, что верно для остроугольного треугольника). Тогда нам нужно доказать, что $\angle ACB + \angle AH'B = 180^\circ$.

Поскольку $H'$ является отражением точки $H$ относительно прямой $AB$, треугольник $AHB$ равен треугольнику $AH'B$. Следовательно, $\angle AH'B = \angle AHB$.

Таким образом, задача сводится к доказательству равенства $\angle ACB + \angle AHB = 180^\circ$.

Пусть $AD$ и $BE$ — высоты треугольника $ABC$, проведенные из вершин $A$ и $B$ соответственно, и они пересекаются в ортоцентре $H$. Рассмотрим четырехугольник $CDHE$. В нем углы при вершинах $D$ и $E$ прямые: $\angle HDC = 90^\circ$ и $\angle HEC = 90^\circ$. Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$, поэтому $\angle DCE + \angle DHE = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 180^\circ$.

Угол $\angle DCE$ — это угол $\angle ACB$ треугольника. Углы $\angle DHE$ и $\angle AHB$ являются вертикальными, поэтому $\angle DHE = \angle AHB$. Подставив это в предыдущее равенство, получаем: $\angle ACB + \angle AHB = 180^\circ$. (Данное соотношение верно для любого непрямоугольного треугольника, хотя для тупоугольных треугольников конфигурация точек иная, но результат тот же).

Итак, мы доказали, что точка $H'$, симметричная ортоцентру $H$ относительно прямой $AB$, лежит на описанной окружности $\omega_{ABC}$.

Теперь рассмотрим зеркальное отражение окружности $\omega_{ABC}$ относительно прямой $AB$. Обозначим это отражение $s_{AB}(\omega_{ABC})$.

• Точки $A$ и $B$ лежат на оси симметрии $AB$, поэтому они отображаются сами в себя: $s_{AB}(A) = A$ и $s_{AB}(B) = B$.
• Точка $H'$ лежит на окружности $\omega_{ABC}$. Ее отражением $s_{AB}(H')$ является точка $H$, так как $H'$ по построению симметрична $H$ относительно $AB$.

Следовательно, отраженная окружность $s_{AB}(\omega_{ABC})$ проходит через точки $A$, $B$ и $H$. Поскольку через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность, то $s_{AB}(\omega_{ABC})$ совпадает с описанной окружностью треугольника $ABH$, то есть с $\omega_{ABH}$.

Мы показали, что окружность $\omega_{ABH}$ является отражением окружности $\omega_{ABC}$ относительно прямой $AB$, что и означает их симметричность.

Ответ: Доказано, что окружности, описанные около треугольников $ABC$ и $ABH$, симметричны относительно прямой $AB$.