Номер 391, страница 144 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

391. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, у которого:

a) одна сторона равна 10, а угол против нее — 120°;

б) одна сторона равна $m$, а прилежащие к ней углы — $\alpha$ и $\beta$;

в) две стороны равны $a$ и $b$, а высота, проведенная к третьей стороне, — $h$.

а)

Для нахождения радиуса $R$ описанной окружности воспользуемся следствием из теоремы синусов, которое гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности: $2R = \frac{a}{\sin \alpha}$.

Отсюда формула для радиуса: $R = \frac{a}{2 \sin \alpha}$, где $a$ — сторона треугольника, а $\alpha$ — угол, противолежащий этой стороне.

По условию задачи, у нас есть сторона $a = 10$ и противолежащий ей угол $\alpha = 120°$. Подставим эти значения в формулу:

$R = \frac{10}{2 \sin 120°}$

Вычислим значение $\sin 120°$, используя формулу приведения $\sin(180° - x) = \sin x$:

$\sin 120° = \sin(180° - 60°) = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим это значение обратно в формулу для радиуса:

$R = \frac{10}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10}{\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$R = \frac{10 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $R = \frac{10\sqrt{3}}{3}$

б)

Пусть дана сторона треугольника $c = m$, и прилежащие к ней углы — $\alpha$ и $\beta$. Для нахождения радиуса описанной окружности $R$ воспользуемся той же теоремой синусов: $R = \frac{c}{2 \sin \gamma}$, где $\gamma$ — угол, противолежащий стороне $c$.

Сумма углов в любом треугольнике равна 180°. Зная два угла, $\alpha$ и $\beta$, мы можем найти третий угол $\gamma$:

$\gamma = 180° - (\alpha + \beta)$

Теперь найдем синус этого угла, используя формулу приведения $\sin(180° - x) = \sin x$:

$\sin \gamma = \sin(180° - (\alpha + \beta)) = \sin(\alpha + \beta)$

Подставим известные значения ($c = m$ и $\sin \gamma = \sin(\alpha + \beta)$) в формулу для радиуса:

$R = \frac{m}{2 \sin(\alpha + \beta)}$

Ответ: $R = \frac{m}{2 \sin(\alpha + \beta)}$

в)

Пусть две стороны треугольника равны $a$ и $b$, а высота, проведенная к третьей стороне (обозначим ее $c$), равна $h$. Для решения этой задачи используем формулу, связывающую радиус описанной окружности $R$ со сторонами треугольника ($a, b, c$) и его площадью $S$:

$R = \frac{abc}{4S}$

Площадь треугольника также можно выразить через сторону $c$ и высоту $h$, проведенную к ней:

$S = \frac{1}{2} c \cdot h$

Теперь подставим это выражение для площади в формулу для радиуса:

$R = \frac{abc}{4 \cdot (\frac{1}{2} ch)} = \frac{abc}{2ch}$

Поскольку третья сторона $c$ не равна нулю (иначе это не треугольник), мы можем сократить дробь на $c$:

$R = \frac{ab}{2h}$

Ответ: $R = \frac{ab}{2h}$