Номер 385, страница 143 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

385. Определите, сколько сторон имеет правильный многоугольник, каждый из внутренних углов которого равен:

а) $135^\circ$;

б) $144^\circ$;

в) $150^\circ$;

г) $156^\circ$;

д) $128 \frac{4}{7}^\circ$;

е) $163 \frac{7}{11}^\circ$.

Для решения задачи можно использовать формулу для величины внутреннего угла $\alpha$ правильного $n$-угольника: $\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$. Выразив из нее $n$, можно найти количество сторон. Однако, удобнее использовать формулу, связывающую число сторон с величиной внешнего угла $\beta$.

Внешний угол правильного многоугольника смежен с внутренним, поэтому $\beta = 180^\circ - \alpha$. Сумма всех внешних углов любого выпуклого многоугольника равна $360^\circ$. Так как у правильного $n$-угольника все $n$ внешних углов равны, то $n \cdot \beta = 360^\circ$. Отсюда получаем формулу для числа сторон:

$n = \frac{360^\circ}{\beta} = \frac{360^\circ}{180^\circ - \alpha}$

Применим эту формулу для каждого из заданных случаев.

а) Дан внутренний угол $\alpha = 135^\circ$.
Сначала найдем величину внешнего угла $\beta$:
$\beta = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.
Теперь найдем число сторон $n$:
$n = \frac{360^\circ}{45^\circ} = 8$.
Ответ: 8 сторон.

б) Дан внутренний угол $\alpha = 144^\circ$.
Найдем величину внешнего угла $\beta$:
$\beta = 180^\circ - 144^\circ = 36^\circ$.
Найдем число сторон $n$:
$n = \frac{360^\circ}{36^\circ} = 10$.
Ответ: 10 сторон.

в) Дан внутренний угол $\alpha = 150^\circ$.
Найдем величину внешнего угла $\beta$:
$\beta = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.
Найдем число сторон $n$:
$n = \frac{360^\circ}{30^\circ} = 12$.
Ответ: 12 сторон.

г) Дан внутренний угол $\alpha = 156^\circ$.
Найдем величину внешнего угла $\beta$:
$\beta = 180^\circ - 156^\circ = 24^\circ$.
Найдем число сторон $n$:
$n = \frac{360^\circ}{24^\circ} = 15$.
Ответ: 15 сторон.

д) Дан внутренний угол $\alpha = 128\frac{4}{7}^\circ$.
Переведем смешанное число в неправильную дробь:
$\alpha = 128\frac{4}{7}^\circ = \frac{128 \cdot 7 + 4}{7}^\circ = \frac{896 + 4}{7}^\circ = \frac{900}{7}^\circ$.
Найдем величину внешнего угла $\beta$:
$\beta = 180^\circ - \frac{900}{7}^\circ = \frac{180 \cdot 7}{7}^\circ - \frac{900}{7}^\circ = \frac{1260 - 900}{7}^\circ = \frac{360}{7}^\circ$.
Найдем число сторон $n$:
$n = \frac{360^\circ}{\frac{360}{7}^\circ} = 360 \cdot \frac{7}{360} = 7$.
Ответ: 7 сторон.

е) Дан внутренний угол $\alpha = 163\frac{7}{11}^\circ$.
Переведем смешанное число в неправильную дробь:
$\alpha = 163\frac{7}{11}^\circ = \frac{163 \cdot 11 + 7}{11}^\circ = \frac{1793 + 7}{11}^\circ = \frac{1800}{11}^\circ$.
Найдем величину внешнего угла $\beta$:
$\beta = 180^\circ - \frac{1800}{11}^\circ = \frac{180 \cdot 11}{11}^\circ - \frac{1800}{11}^\circ = \frac{1980 - 1800}{11}^\circ = \frac{180}{11}^\circ$.
Найдем число сторон $n$:
$n = \frac{360^\circ}{\frac{180}{11}^\circ} = 360 \cdot \frac{11}{180} = 2 \cdot 11 = 22$.
Ответ: 22 стороны.