Номер 382, страница 143 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

382. Докажите, что луч, выходящий из вершины равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, и параллельный этому основанию, делит соответствующий внешний угол пополам.

Доказательство.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Это означает, что его боковые стороны равны, то есть $AB = BC$. По свойству равнобедренного треугольника, углы при его основании также равны: $\angle BAC = \angle BCA$.

Рассмотрим внешний угол треугольника при вершине $B$, противолежащей основанию. Для этого продлим сторону $AB$ за точку $B$ до некоторой точки $D$. Образовавшийся угол $\angle DBC$ является внешним углом треугольника $ABC$ при вершине $B$.

Проведем из вершины $B$ луч $BE$, параллельный основанию $AC$ ($BE \parallel AC$), так, что этот луч находится внутри внешнего угла $\angle DBC$. Нам необходимо доказать, что луч $BE$ делит угол $\angle DBC$ пополам, то есть что $\angle DBE = \angle EBC$.

Рассмотрим параллельные прямые $BE$ и $AC$ и их пересечение с секущими.

1. Прямая $DB$ (которая является продолжением стороны $AB$) — секущая для параллельных прямых $BE$ и $AC$. Углы $\angle DBE$ и $\angle BAC$ являются соответственными углами. Следовательно, они равны:
$\angle DBE = \angle BAC$.

2. Прямая $BC$ — также секущая для параллельных прямых $BE$ и $AC$. Углы $\angle EBC$ и $\angle BCA$ являются накрест лежащими углами. Следовательно, они тоже равны:
$\angle EBC = \angle BCA$.

3. Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, мы знаем, что углы при основании равны:
$\angle BAC = \angle BCA$.

Сопоставив три полученных равенства, мы можем заключить:
$\angle DBE = \angle BAC = \angle BCA = \angle EBC$.

Из этого следует, что $\angle DBE = \angle EBC$. Это означает, что луч $BE$, параллельный основанию $AC$, делит внешний угол при вершине $B$ пополам, то есть является его биссектрисой.

Ответ: что и требовалось доказать.