Номер 383, страница 143 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

383. Найдите угол между биссектрисами:

a) двух углов с общей стороной, величины которых равны $\alpha$ и $\beta$, и примените результат для случая смежных углов;

б) углов $AOB$ и $COD$, учитывая, что они и угол $BOC$ соответственно равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, и примените результат для случая вертикальных углов.

а)

Пусть даны два угла с общей стороной $OC$, величины которых равны $\angle AOC = \alpha$ и $\angle COB = \beta$. Пусть $OK$ — биссектриса угла $\angle AOC$, а $OL$ — биссектриса угла $\angle COB$. Нам нужно найти угол $\angle KOL$ между этими биссектрисами. Существует два основных случая взаимного расположения этих углов.

1. Стороны $OA$ и $OB$ лежат по разные стороны от прямой, содержащей общую сторону $OC$. В этом случае углы прилегают друг к другу. Угол между биссектрисами $OK$ и $OL$ находится как сумма половин этих углов:
По определению биссектрисы, $\angle KOC = \frac{1}{2}\angle AOC = \frac{\alpha}{2}$ и $\angle COL = \frac{1}{2}\angle COB = \frac{\beta}{2}$.
Следовательно, $\angle KOL = \angle KOC + \angle COL = \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = \frac{\alpha + \beta}{2}$.

2. Стороны $OA$ и $OB$ лежат по одну сторону от прямой, содержащей общую сторону $OC$. В этом случае один угол оказывается внутри другого. Предположим, что $\angle COB$ находится внутри $\angle AOC$, тогда $\alpha > \beta$. Угол между биссектрисами $OK$ и $OL$ находится как разность половин этих углов:
$\angle KOL = \angle KOC - \angle LOC = \frac{1}{2}\angle AOC - \frac{1}{2}\angle COB = \frac{\alpha}{2} - \frac{\beta}{2} = \frac{\alpha - \beta}{2}$.
В общем виде, чтобы учесть любой случай ($\alpha > \beta$ или $\beta > \alpha$), угол равен $|\frac{\alpha - \beta}{2}|$.

Применение результата для случая смежных углов:
Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются взаимным продолжением друг друга (образуют прямую). Этот случай соответствует первому рассмотренному варианту. Сумма смежных углов равна $180^\circ$, то есть $\alpha + \beta = 180^\circ$.
Подставим это значение в соответствующую формулу, чтобы найти угол между их биссектрисами:
Угол = $\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$.
Таким образом, биссектрисы смежных углов всегда перпендикулярны.

Ответ: В зависимости от расположения углов, угол между их биссектрисами равен $\frac{\alpha + \beta}{2}$ или $|\frac{\alpha - \beta}{2}|$. Для смежных углов угол между биссектрисами всегда равен $90^\circ$.

б)

Рассмотрим углы $\angle AOB$, $\angle BOC$ и $\angle COD$, которые расположены последовательно вокруг общей вершины $O$. Их величины соответственно равны $\angle AOB = \alpha$, $\angle BOC = \gamma$ и $\angle COD = \beta$. Пусть $OM$ — биссектриса угла $\angle AOB$, а $ON$ — биссектриса угла $\angle COD$. Требуется найти величину угла $\angle MON$.

Угол $\angle MON$ является суммой трех углов: $\angle MOB$, $\angle BOC$ и $\angle CON$.
Из определения биссектрисы следует, что $\angle MOB = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{\alpha}{2}$ и $\angle CON = \frac{1}{2}\angle COD = \frac{\beta}{2}$.
Складывая величины этих углов, получаем искомый угол $\angle MON$:
$\angle MON = \angle MOB + \angle BOC + \angle CON = \frac{\alpha}{2} + \gamma + \frac{\beta}{2} = \frac{\alpha + \beta}{2} + \gamma$.

Применение результата для случая вертикальных углов:
Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых. Пусть прямые $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Углы $\angle AOB$ и $\angle COD$ являются вертикальными, а угол $\angle BOC$ — смежным с каждым из них.
В этом случае выполняются следующие условия:
1. Вертикальные углы равны: $\angle AOB = \angle COD$, что означает $\alpha = \beta$.
2. Смежные углы в сумме дают $180^\circ$: $\angle AOB + \angle BOC = 180^\circ$, что означает $\alpha + \gamma = 180^\circ$.

Подставим эти условия в полученную ранее общую формулу для угла между биссектрисами $OM$ и $ON$:
$\angle MON = \frac{\alpha + \beta}{2} + \gamma = \frac{\alpha + \alpha}{2} + \gamma = \frac{2\alpha}{2} + \gamma = \alpha + \gamma$.
Поскольку $\alpha + \gamma = 180^\circ$, то и $\angle MON = 180^\circ$.
Угол в $180^\circ$ означает, что биссектрисы $OM$ и $ON$ являются противоположными лучами, то есть лежат на одной прямой.

Ответ: В общем случае, когда углы расположены последовательно, угол между биссектрисами равен $\frac{\alpha + \beta}{2} + \gamma$. Для вертикальных углов угол между биссектрисами равен $180^\circ$.