Номер 57, страница 140 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

57. Чему равно отношение линейных элементов подобных фигур; площадей подобных фигур; объемов подобных фигур?

Пусть даны две подобные фигуры (плоские или пространственные) и $k$ — их коэффициент подобия. Коэффициент подобия — это число, показывающее, во сколько раз все линейные размеры одной фигуры больше или меньше соответствующих линейных размеров другой фигуры.

Отношение линейных элементов подобных фигур

Линейные элементы — это длины отрезков, такие как стороны, высоты, медианы, биссектрисы, радиусы, периметры и т.д. По определению подобия, отношение любых соответствующих линейных элементов $l_1$ и $l_2$ двух подобных фигур равно коэффициенту подобия $k$.

$\frac{l_2}{l_1} = k$

Ответ: Отношение линейных элементов подобных фигур равно коэффициенту подобия $k$.

Отношение площадей подобных фигур

Площадь любой фигуры измеряется в квадратных единицах и пропорциональна квадрату её линейных размеров. Если две плоские фигуры подобны с коэффициентом $k$, то отношение их площадей $S_1$ и $S_2$ будет равно квадрату коэффициента подобия.

$\frac{S_2}{S_1} = k^2$

Например, если стороны одного квадрата в 2 раза больше сторон другого, то его площадь будет в $2^2 = 4$ раза больше.

Ответ: Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия $k^2$.

Отношение объемов подобных фигур

Объем любого тела измеряется в кубических единицах и пропорционален кубу его линейных размеров. Если два трехмерных тела подобны с коэффициентом $k$, то отношение их объемов $V_1$ и $V_2$ будет равно кубу коэффициента подобия.

$\frac{V_2}{V_1} = k^3$

Например, если ребра одного куба в 2 раза больше ребер другого, то его объем будет в $2^3 = 8$ раз больше.

Ответ: Отношение объемов подобных фигур равно кубу коэффициента подобия $k^3$.