Номер 52, страница 140 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

52. Сформулируйте свойство вписанного четырехугольника; признак вписанного четырехугольника.

Свойство вписанного четырехугольника

Четырехугольник называется вписанным в окружность (или циклическим), если все его вершины лежат на этой окружности. Такая окружность называется описанной около четырехугольника.

Теорема (свойство вписанного четырехугольника): В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна $180^{\circ}$.

Доказательство:
Пусть четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. Его углы $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$, $\angle D$ являются вписанными углами данной окружности.
Рассмотрим противоположные углы $\angle A$ и $\angle C$. Угол $\angle A$ опирается на дугу $BCD$, а угол $\angle C$ — на дугу $DAB$.
По теореме о вписанном угле, его величина равна половине угловой меры дуги, на которую он опирается. Таким образом:
$\angle A = \frac{1}{2} \smile BCD$
$\angle C = \frac{1}{2} \smile DAB$
Сложим эти равенства:
$\angle A + \angle C = \frac{1}{2} \smile BCD + \frac{1}{2} \smile DAB = \frac{1}{2} (\smile BCD + \smile DAB)$
Дуги $BCD$ и $DAB$ вместе образуют полную окружность, сумма их угловых мер равна $360^{\circ}$.
Следовательно:
$\angle A + \angle C = \frac{1}{2} \cdot 360^{\circ} = 180^{\circ}$.
Аналогично, рассматривая углы $\angle B$ и $\angle D$, которые опираются на дуги $ADC$ и $ABC$ соответственно, можно доказать, что $\angle B + \angle D = 180^{\circ}$.

Ответ: Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна $180^{\circ}$.

Признак вписанного четырехугольника

Признак вписанного четырехугольника — это утверждение, обратное свойству. Он позволяет определить, можно ли описать окружность вокруг данного четырехугольника.

Теорема (признак вписанного четырехугольника): Если в выпуклом четырехугольнике сумма противоположных углов равна $180^{\circ}$, то около него можно описать окружность.

Доказательство (методом от противного):
Пусть в четырехугольнике $ABCD$ выполняется равенство $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$.
Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность. Проведем окружность через точки $A$, $B$, $D$.
Предположим, что точка $C$ не лежит на этой окружности. Тогда она может находиться либо внутри, либо вне круга, ограниченного этой окружностью.
1. Пусть точка $C$ лежит внутри круга. Продолжим отрезок $BC$ до пересечения с окружностью в точке $C_1$. Тогда четырехугольник $ABC_1D$ — вписанный. По свойству вписанного четырехугольника $\angle A + \angle BC_1D = 180^{\circ}$.
Но по условию задачи $\angle A + \angle BCD = 180^{\circ}$. Отсюда следует, что $\angle BC_1D = \angle BCD$.
Однако $\angle BCD$ является внешним углом для треугольника $CDC_1$, и по теореме о внешнем угле он должен быть больше внутреннего угла $\angle CC_1D$ (он же $\angle BC_1D$), не смежного с ним. Мы пришли к противоречию.
2. Случай, когда точка $C$ лежит вне круга, рассматривается аналогично и также приводит к противоречию.
Следовательно, наше первоначальное предположение неверно, и точка $C$ обязана лежать на окружности, проходящей через точки $A$, $B$ и $D$. Таким образом, около четырехугольника $ABCD$ можно описать окружность.

Другой признак: Четырехугольник можно вписать в окружность, если угол между его стороной и диагональю равен углу между противоположной стороной и другой диагональю (например, если $\angle CAD = \angle CBD$, так как они опираются на одну и ту же хорду $CD$).

Ответ: Если сумма противоположных углов четырехугольника равна $180^{\circ}$, то около него можно описать окружность.