Номер 45, страница 139 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

45. Сформулируйте свойства четырехугольника.

Четырехугольник — это многоугольник, который имеет четыре вершины, четыре стороны и две диагонали. Свойства четырехугольников можно разделить на общие, присущие любой такой фигуре, и частные, характерные для определенных их видов (параллелограммов, трапеций и т.д.).

Общие свойства произвольного выпуклого четырехугольника

• Сумма длин его четырех сторон называется периметром: $P = a + b + c + d$.
• Сумма внутренних углов четырехугольника всегда равна $360^\circ$.
• Длина любой стороны четырехугольника меньше суммы длин трех других его сторон.
• Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\alpha$.

Свойства частных видов четырехугольников

Параллелограмм — четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

• Противоположные стороны равны.
• Противоположные углы равны.
• Сумма углов, прилегающих к одной стороне, равна $180^\circ$.
• Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
• Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон: $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$.

Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые ($90^\circ$).

• Обладает всеми свойствами параллелограмма.
• Диагонали прямоугольника равны.

Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны.

• Обладает всеми свойствами параллелограмма.
• Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов.

Квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны (является одновременно и ромбом).

• Обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба.
• Все стороны равны, все углы прямые.
• Диагонали равны, взаимно перпендикулярны, делят углы пополам и в точке пересечения делятся пополам.

Трапеция — четырехугольник, у которого две стороны параллельны (основания), а две другие — нет (боковые стороны).

• Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$.
• Средняя линия (соединяет середины боковых сторон) параллельна основаниям и равна их полусумме.
• У равнобедренной трапеции (боковые стороны равны) углы при основаниях равны, а диагонали равны.

Дельтоид — четырехугольник, у которого есть две пары равных смежных сторон.

• Одна из диагоналей перпендикулярна другой и делится ею пополам.
• Углы между сторонами разной длины равны.
• Диагональ, соединяющая вершины, где сходятся стороны равной длины, является биссектрисой углов при этих вершинах.

Ответ: Ключевые свойства четырехугольника включают: 1. Для любого выпуклого четырехугольника сумма внутренних углов составляет $360^\circ$. 2. Периметр равен сумме длин четырех сторон. 3. Частные виды четырехугольников имеют уникальные свойства: у параллелограмма противолежащие стороны попарно параллельны и равны, а диагонали делятся пополам в точке пересечения; прямоугольник является параллелограммом с прямыми углами и равными диагоналями; ромб — это параллелограмм с равными сторонами, чьи диагонали перпендикулярны и являются биссектрисами углов; квадрат совмещает свойства прямоугольника и ромба; у трапеции ровно одна пара сторон параллельна; у дельтоида есть две пары равных смежных сторон, а одна из диагоналей перпендикулярна другой.