Номер 40, страница 139 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

40. Как связаны расстояния от данной точки вне круга до точек касания с данной окружностью двух касательных, проведенных через данную точку?

Расстояния от данной точки вне круга до точек касания с данной окружностью двух касательных, проведенных через данную точку, равны между собой. Это утверждение является важным свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки.

Приведем строгое доказательство этого факта.

Пусть у нас есть окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r$. Возьмем точку $P$, которая находится вне этой окружности. Из точки $P$ проведем две касательные к окружности, которые касаются ее в точках $A$ и $B$. Нам нужно доказать, что длины отрезков касательных от точки $P$ до точек касания $A$ и $B$ равны, то есть $PA = PB$.

Для доказательства выполним следующие построения:

1. Соединим центр окружности $O$ с точками касания $A$ и $B$. Отрезки $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности.
2. Соединим точку $P$ с центром окружности $O$. Получим отрезок $OP$.

Теперь рассмотрим два образовавшихся треугольника: $\triangle OAP$ и $\triangle OBP$.

По основному свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Исходя из этого:

• $OA \perp PA$, следовательно, $\angle OAP = 90^\circ$.
• $OB \perp PB$, следовательно, $\angle OBP = 90^\circ$.

Это означает, что оба треугольника, $\triangle OAP$ и $\triangle OBP$, являются прямоугольными.

Сравним эти два прямоугольных треугольника:

• Сторона $OP$ является общей гипотенузой для обоих треугольников.
• Стороны $OA$ и $OB$ равны между собой, так как обе являются радиусами одной и той же окружности ($OA = OB = r$).

Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle OAP$ и $\triangle OBP$ равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету).

Из равенства треугольников следует, что все их соответствующие элементы равны. В частности, равны катеты $PA$ и $PB$: $PA = PB$.

Следовательно, мы доказали, что расстояния от точки $P$ до точек касания $A$ и $B$ равны.

Ответ: Расстояния от данной точки вне круга до точек касания с данной окружностью двух касательных, проведенных через данную точку, равны между собой.