Номер 38, страница 139 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

38. Как измеряется центральный угол; вписанный угол; угол с вершиной внутри круга; угол с вершиной вне круга?

Центральный угол

Центральным углом в окружности называется угол с вершиной в её центре. Стороны этого угла пересекают окружность в двух точках, которые ограничивают дугу. Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается.

Если $\angle AOB$ — центральный угол, где $O$ — центр окружности, а точки $A$ и $B$ лежат на окружности, то его величина измеряется дугой $\cup AB$.

Формула: $\angle AOB = \cup AB$.

Например, если дуга $\cup AB$ составляет $70^{\circ}$, то и центральный угол $\angle AOB$ равен $70^{\circ}$.

Ответ: Центральный угол измеряется градусной мерой дуги, на которую он опирается.

Вписанный угол

Вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность (являются хордами). Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Если $\angle ACB$ — вписанный угол, где точки $A$, $B$ и $C$ лежат на окружности, то его величина измеряется через дугу $\cup AB$.

Формула: $\angle ACB = \frac{1}{2} \cdot \cup AB$.

Следствием из этого является то, что все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. А вписанный угол, опирающийся на диаметр (дугу в $180^{\circ}$), равен $90^{\circ}$.

Ответ: Вписанный угол измеряется половиной градусной меры дуги, на которую он опирается.

Угол с вершиной внутри круга

Угол, образованный пересечением двух хорд, вершина которого лежит внутри круга, измеряется полусуммой градусных мер дуг, заключенных между его сторонами и их продолжениями.

Пусть две хорды $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $E$ внутри окружности. Угол $\angle AEB$ и вертикальный ему угол $\angle CED$ высекают на окружности дуги $\cup AB$ и $\cup CD$. Величина угла $\angle AEB$ вычисляется как половина суммы этих дуг.

Формула: $\angle AEB = \frac{1}{2}(\cup AB + \cup CD)$.

Ответ: Угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой градусных мер двух дуг, одна из которых заключена между его сторонами, а другая — между продолжениями сторон.

Угол с вершиной вне круга

Угол, вершина которого находится вне круга, а стороны пересекают окружность (являются двумя секущими, двумя касательными или секущей и касательной), измеряется полуразностью градусных мер большей и меньшей дуг, высекаемых его сторонами на окружности.

Пусть из точки $P$, лежащей вне окружности, проведены две секущие, пересекающие окружность в точках $A, B$ и $C, D$ (где $B$ и $C$ — ближние к $P$ точки). Эти секущие образуют угол $\angle P$ и высекают на окружности две дуги: дальнюю (большую) $\cup AD$ и ближнюю (меньшую) $\cup BC$.

Формула: $\angle P = \frac{1}{2}(\cup AD - \cup BC)$.

Эта формула справедлива для всех трех случаев: двух секущих, двух касательных и касательной с секущей.

Ответ: Угол с вершиной вне круга измеряется полуразностью градусных мер большей и меньшей дуг, заключенных между его сторонами.