Номер 36, страница 139 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

36. Сформулируйте свойство дуг, высекаемых из окружности параллельными прямыми.

Свойство заключается в том, что дуги окружности, заключенные между двумя параллельными прямыми, равны между собой. Этими параллельными прямыми могут быть две хорды, хорда и касательная, или две касательные.

Доказательство

Рассмотрим все три возможных случая.

1. Две параллельные хорды

Пусть в окружности проведены две параллельные хорды $AB$ и $CD$ ($AB || CD$). Они высекают на окружности дуги $AC$ и $BD$. Докажем, что градусные меры этих дуг равны, то есть $\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BD}$.

Проведем хорду $AD$. Она является секущей для параллельных прямых $AB$ и $CD$. Следовательно, внутренние накрест лежащие углы, образованные этой секущей, равны: $\angle BAD = \angle CDA$.

Угол $\angle BAD$ является вписанным углом, который опирается на дугу $BD$. Его величина равна половине градусной меры этой дуги: $\angle BAD = \frac{1}{2} \overset{\frown}{BD}$.

Аналогично, угол $\angle CDA$ является вписанным углом, который опирается на дугу $AC$. Его величина равна половине градусной меры этой дуги: $\angle CDA = \frac{1}{2} \overset{\frown}{AC}$.

Поскольку $\angle BAD = \angle CDA$, то равны и величины, которые они выражают:

$\frac{1}{2} \overset{\frown}{BD} = \frac{1}{2} \overset{\frown}{AC}$

Отсюда следует, что $\overset{\frown}{BD} = \overset{\frown}{AC}$, что и требовалось доказать.

2. Хорда и параллельная ей касательная

Пусть хорда $AB$ параллельна касательной $t$, которая касается окружности в точке $T$. Касательная и хорда высекают дуги $AT$ и $BT$. Докажем, что $\overset{\frown}{AT} = \overset{\frown}{BT}$.

Проведем хорду $AT$. Угол между касательной $t$ и хордой $AT$, который мы обозначим как $\angle(t, AT)$, измеряется половиной градусной меры дуги, заключенной внутри этого угла. То есть, $\angle(t, AT) = \frac{1}{2} \overset{\frown}{AT}$.

Угол $\angle BAT$ (или $\angle TAB$) является вписанным и опирается на дугу $BT$. Его величина, соответственно, равна $\angle BAT = \frac{1}{2} \overset{\frown}{BT}$.

По условию, прямая $t$ параллельна хорде $AB$ ($t || AB$). Хорда $AT$ является для них секущей. Следовательно, внутренние накрест лежащие углы равны: $\angle(t, AT) = \angle BAT$.

Приравнивая выражения для этих углов, мы получаем:

$\frac{1}{2} \overset{\frown}{AT} = \frac{1}{2} \overset{\frown}{BT}$

Из этого равенства следует, что $\overset{\frown}{AT} = \overset{\frown}{BT}$, что и требовалось доказать.

3. Две параллельные касательные

Пусть две параллельные прямые $t_1$ и $t_2$ касаются окружности в точках $M$ и $N$ соответственно. Они делят окружность на две дуги.

Пусть $O$ — центр окружности. Проведем радиусы $OM$ и $ON$ в точки касания. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, $OM \perp t_1$ и $ON \perp t_2$.

Так как касательные $t_1$ и $t_2$ параллельны, а прямые $OM$ и $ON$ обе им перпендикулярны, то точки $M, O, N$ лежат на одной прямой. Это означает, что отрезок $MN$ является диаметром окружности.

Диаметр делит окружность на две равные части — две полуокружности. Каждая из этих дуг имеет градусную меру $180^\circ$.

Следовательно, дуги, высекаемые двумя параллельными касательными, равны между собой.

Ответ: Дуги окружности, заключенные между двумя параллельными прямыми (хордами, касательными или хордой и касательной), равны.