Номер 34, страница 139 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

34. Сформулируйте свойство касательной; признак касательной.

Свойство касательной

Свойство касательной к окружности — это ключевая теорема геометрии, которая устанавливает связь между касательной и радиусом, проведенным в точку касания.

Формулировка теоремы: Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.

Развернутое объяснение с доказательством:

Пусть дана окружность с центром в точке $O$. Прямая $a$ касается этой окружности в точке $A$. Требуется доказать, что касательная $a$ перпендикулярна радиусу $OA$, то есть $a \perp OA$.

Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что прямая $a$ не перпендикулярна радиусу $OA$. В таком случае перпендикуляр, опущенный из центра $O$ на прямую $a$, не совпадает с радиусом $OA$. Пусть этим перпендикуляром будет отрезок $OH$, где точка $H$ лежит на прямой $a$.

Так как $OH$ — перпендикуляр к прямой $a$, а $OA$ — наклонная, проведенная из той же точки $O$ к прямой $a$, то образуется прямоугольный треугольник $\triangle OHA$, в котором $\angle OHA = 90^\circ$. В этом треугольнике $OH$ является катетом, а $OA$ — гипотенузой.

Из свойства прямоугольного треугольника известно, что катет всегда короче гипотенузы, следовательно, $OH < OA$.

Поскольку $OA$ — это радиус окружности ($R$), то мы получаем, что расстояние от центра $O$ до точки $H$ на прямой $a$ меньше радиуса ($OH < R$). Это означает, что точка $H$ находится внутри окружности.

Если прямая $a$ проходит через точку $H$, лежащую внутри окружности, то она должна пересекать окружность в двух точках. Но это противоречит определению касательной, которая по определению имеет с окружностью ровно одну общую точку (точку касания $A$).

Полученное противоречие означает, что наше исходное предположение было неверным. Следовательно, радиус $OA$ должен быть перпендикулярен прямой $a$.

Ответ: Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, который проведен в точку касания.

Признак касательной

Признак касательной является теоремой, обратной свойству касательной. Он предоставляет условие, при выполнении которого прямая гарантированно является касательной к окружности.

Формулировка теоремы: Если прямая проходит через точку, лежащую на окружности, и перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку, то эта прямая является касательной к данной окружности.

Развернутое объяснение с доказательством:

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Точка $A$ лежит на этой окружности. Через точку $A$ проведена прямая $a$, причем $a \perp OA$. Требуется доказать, что прямая $a$ является касательной к окружности.

Для доказательства нам нужно показать, что прямая $a$ и окружность имеют только одну общую точку — точку $A$.

Рассмотрим любую точку $M$ на прямой $a$, отличную от точки $A$. Отрезок $OA$ по условию является перпендикуляром к прямой $a$, а отрезок $OM$ — наклонная, проведенная из точки $O$ к прямой $a$.

Таким образом, треугольник $\triangle OAM$ является прямоугольным, где $\angle OAM = 90^\circ$. В этом треугольнике $OA$ — катет, а $OM$ — гипотенуза.

По свойству прямоугольного треугольника гипотенуза всегда длиннее катета, то есть $OM > OA$.

Так как точка $A$ лежит на окружности, то длина радиуса $R$ равна длине отрезка $OA$. Следовательно, $OM > R$.

Это означает, что любая точка $M$ на прямой $a$ (кроме точки $A$) удалена от центра окружности на расстояние, большее чем радиус. Значит, все точки прямой $a$, кроме $A$, лежат вне окружности.

Следовательно, прямая $a$ имеет с окружностью ровно одну общую точку — $A$, что по определению и означает, что прямая $a$ является касательной к окружности.

Ответ: Если прямая, проходящая через точку на окружности, перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то она является касательной к этой окружности.