Номер 27, страница 139 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

27. Сформулируйте свойства:

Углов прямоугольного треугольника

Сторон прямоугольного треугольника

Медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе

Высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе

Свойства углов прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой, то есть равен $90^\circ$. Основные свойства его углов:
1. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$. Если острые углы обозначить как $\alpha$ и $\beta$, то их сумма $\alpha + \beta = 90^\circ$. Это следует из общего свойства о том, что сумма всех углов любого треугольника равна $180^\circ$.
2. Катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Это важное свойство, которое часто используется при решении задач.
3. Если один из острых углов равен $45^\circ$, то второй острый угол также равен $45^\circ$, и такой треугольник является равнобедренным, то есть его катеты равны.

Ответ: В прямоугольном треугольнике один угол равен $90^\circ$, а сумма двух других (острых) углов равна $90^\circ$. Катет, противолежащий углу в $30^\circ$, равен половине гипотенузы.

Свойства сторон прямоугольного треугольника

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами (обозначим их длины как $a$ и $b$), а сторона, противолежащая прямому углу, — гипотенузой (обозначим её длину как $c$). Свойства сторон:
1. Теорема Пифагора: Квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов: $c^2 = a^2 + b^2$. Это фундаментальное свойство прямоугольного треугольника.
2. Гипотенуза всегда длиннее любого из катетов, то есть $c > a$ и $c > b$.
3. Стороны связаны с острыми углами через тригонометрические функции. Для острого угла $\alpha$, противолежащего катету $a$:
- синус: $\sin(\alpha) = \frac{a}{c}$ (отношение противолежащего катета к гипотенузе),
- косинус: $\cos(\alpha) = \frac{b}{c}$ (отношение прилежащего катета к гипотенузе),
- тангенс: $\tan(\alpha) = \frac{a}{b}$ (отношение противолежащего катета к прилежащему).

Ответ: Стороны прямоугольного треугольника связаны теоремой Пифагора ($c^2 = a^2 + b^2$), где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. Гипотенуза является самой длинной стороной.

Свойства медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе

Медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, обладает уникальным свойством: ее длина равна половине длины гипотенузы. Если $m_c$ — медиана, проведенная к гипотенузе $c$, то $m_c = \frac{c}{2}$.
Это свойство можно доказать, описав окружность вокруг прямоугольного треугольника. Гипотенуза будет диаметром этой окружности, а ее середина — центром окружности. Медиана, проведенная к гипотенузе, соединяет центр окружности (середину гипотенузы) с вершиной прямого угла, и, следовательно, является радиусом этой окружности. Половины гипотенузы также являются радиусами. Отсюда следует, что медиана делит исходный треугольник на два равнобедренных треугольника.

Ответ: Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.

Свойства высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе

Высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе (обозначим ее $h_c$), также имеет ряд важных свойств, которые называют метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике:
1. Высота делит прямоугольный треугольник на два меньших треугольника, которые подобны исходному треугольнику и подобны друг другу.
2. Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению длин отрезков (проекций катетов), на которые высота делит гипотенузу. Если высота делит гипотенузу на отрезки $c_a$ и $c_b$, то $h_c^2 = c_a \cdot c_b$. Иначе говоря, высота есть среднее геометрическое этих отрезков.
3. Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу: $a^2 = c \cdot c_a$ и $b^2 = c \cdot c_b$.
4. Высоту можно выразить через длины сторон треугольника: $h_c = \frac{a \cdot b}{c}$. Это следует из формулы площади треугольника, вычисленной двумя способами: $S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch_c$.

Ответ: Высота, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на два подобных ему треугольника. Квадрат высоты равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу ($h_c^2 = c_a \cdot c_b$). Квадрат катета равен произведению гипотенузы на его проекцию ($a^2 = c \cdot c_a$).